4. Производная Правила дифференцирования

Пусть , тогда

1. ;

2. ; в частности: , ;

3. ;

4. если , где , тогда .

Таблица производных

1. ; 2.

3. ; в частности: ;

4. ; в частности: ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ;

10. .

5. Исследование функции и построение её графика Основные свойства функций

1.Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых .

2. Функция называется периодической, если существует число такое, что . –период функции.

3. Функция называется четной, если . График четной функции симметричен относительно оси . Функцияназывается нечетной, если . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная и нечетная функция должна иметь область определения симметричную относительно начала координат.

Исследование функции с помощью производной

1. Монотонность – возрастание или убывание функции.

Если функция дифференцируема на интервале и () для всех , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

2. Экстремумы – максимумы и минимумы функции.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и или не существует, а при переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», то – точка минимума, а при смене знака с «+» на «–»– точка максимума.

знак – + знак + –

поведение min поведение max

3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Если функция имеет вторую производную и () для всех , то график этой функции в этом интервале выпуклый вниз или вогнутый (выпуклый вверх или просто выпуклый).

Если вторая производная меняет знак при переходе через точку и или не существует, то точка графика с абсциссой – точка перегиба.

знак знак

вид вид

4. Асимптоты графика функции.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют два конечных предела

и .

В частности, если , то прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции.

Замечание. Наклонные асимптоты графика функции при и могут различаться, тогда они называются, соответственно, левой и правой наклонной асимптотой.

Схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции;

2. Найти (если они есть) точки пересечения с осями координат;

3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида;

4. Исследовать периодичность функции;

5. Исследовать непрерывность функции; выявить и классифицировать точки разрыва;

6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции;

8. Найти асимптоты графика функции;

9. Построить график функции.