Справочный материал

1. Комплексные числа

Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида , где и – действительные числа, а – так называемая мнимая единица ().

Число называется действительной частью комплексного числа (), число - мнимой частью ().

Два комплексных числа и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Пусть даны два комплексных числа и . Они равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме задаются формулами

1.

2.

В частности ;

3. .

Комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки или радиус-вектора .

Длина вектора называется модулем комплексного

числа и обозначается или , а угол между вектором у М

и положительным направлением оси называется

аргументом этого комплексного числа. О х х

Главным называется значение аргумента .

Очевидно, что (1)

Полученная запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль и аргумент комплексного числа определяются по формулам

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в показательной форме .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются по формулам:

1.

2.

3. (2)

4. .

В частности .

2. Пределы

Для нахождения пределов функции используются следующие теоремы. Если существуют пределы и , то

1. ;

2. ;

В частности, , где ;

3. .

Аналогичные теоремы справедливы для пределов последовательностей.

Имеют место два замечательных предела:

1. ; 2. .

Следствия:

1.; 2. ; 3. ; 4.

5. ; 6. ; 7. .

Для раскрытия неопределённостей вида и используют правило Лопиталя. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (быть может кроме неё самой); или и. Тогда, если существует предел , то (3)

3. Непрерывность функции в точке

Функция называется непрерывной в точке , если

. (4)

Указанное равенство предполагает, что функция определена в точке

и её окрестности и имеет предел при .

Равенство (4) эквивалентно равенству

, (5)

где – лево и правосторонние пределы функции в точке .

Известно, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва функции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа и . При этом, если , то точка называется точкой устранимого разрыва; а если , то точкой конечного разрыва.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен бесконечности.