Методические указания к решению задачи № 8 Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Рассматриваемый в задаче брус испытывает так называемое внецентренное сжатие. Под внецентренным сжатием понимается такой случай нагружения бруса, при котором сжимающая сила параллельна его продольной оси, но не проходит через центр тяжести поперечного сечения (рис.33). Координаты точ­ки приложения силы обозначены y_p, z_p.

Рис. 32. Схемы поперечных сечений бруса

При внецентренном приложении силы в поперечных сечениях бруса воз­ни­кают три силовых фактора: продольная сила N = P; изгибающие мо­мен­ты и .

Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами x, y равны алгебраической сумме напряжений от воздействия этих трех силовых факторов

(8.1)

После несложных преобразований формула для вычисления напряжений при внецентренном сжатии приводится к виду

, (8.2)

где

Р - сила, сжимающая брус;

F - площадь поперечного сечения бруса;

J_y, J_z - главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

y_p, z_p - координаты точки приложения силы;

y , z - координаты точки поперечного сечения, в которой вычисляются напряжения;

i_y и i_z  главные центральные ра­диусы инерции поперечного сече­ния.

Координаты y_p, z_p и y,z в фор­мулу для вычисления напря­же­ний под­ставляются с учетом их зна­­ков в за­ранее выбранной сис­те­ме коор­динат.

При внецентренном сжатии мож­но приложить внешнюю силу таким образом, что в попе­речном сечении бруса возникнут не толь­ко сжимающие, но и растя­ги­ваю­щие на­пряжения. Границей между час­тью сечения, в которой волок­на бруса растянуты, и той частью, где они сжаты, является прямая линия, напряжения в точках кото­рой рав­ны нулю.

Рис. 33. Внецентренное сжатие бруса

Эта прямая линия называется нулевой, или нейтральной линией. Урав­нение нулевой линии имеет вид

(8.3)

Очевидно, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести попере­чно­го сечения. Для ее построения необходимо знать величину отрезков, которые она отсекает на осях координат. Их величина определяется по формулам

(8.4)

где и -отрезки, отсекаемые нейтральной линией соответственно на осях

ко­ординат Y, Z;

Главные центральные радиусы инерции сечения i_y и i_z определяются по формулам

. (8.5)

При внецентренном сжатии опасными являются точки, наиболее уда­ленные от нулевой линии. Если пределы прочности материала на растя­же­ние и сжа­тие различны, условия прочности записываются отдельно для опа­­с­­ных точек в растянутой и сжатой зонах:

(8.6)

где y^*, z^* - координаты точки, наиболее удаленной от нулевой линии в растянутой зоне;

y^**, z^** - то же в сжатой зоне.

Координаты точек определяются по чертежу с учетом их знаков, а величина сжимающей силы подставляется в формулы со знаком минус.