Вариант 10
Проверьте совместность системы уравнений и в случае совместности решите ее:
По формулам Крамера.
Матричным способом (с помощью обратной матрицы).
Методом Гаусса.
Найдите производные функций:
.
Найдите неопределенные интегралы:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.
Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
;
;
Исследуйте функцию и постройте ее график:
.
Перечень теоретических вопросов
1. Понятие множества и элемента множества. Пустое множество. Способы
задания множеств. Подмножество. Равные множества.
2. Изображение отношений между множествами при помощи кругов
Эйлера. Геометрическая фигура как множество точек.
3. Пересечение и объединение множеств. Законы операций объединения и
пересечения.
4. Дополнение подмножества. Операции над геометрическими фигурами.
5. Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся
подмножества (классы). Примеры классификаций.
6. Декартово произведение множеств. Изображение декартова произведения
двух числовых множеств на координатной плоскости.
7. Величина как свойство предметов или явлений реального мира. Понятие
измерения величины.
8. Свойства скалярных величин. Правила выполнения действий над
величинами.
9. Действия над отрезками, их свойства. Понятие длины отрезка и еѐ
измерения. Свойства числовых значений длины.
10. Стандартные единицы длины, сведения об их происхождении.
Многоугольник, его элементы. Понятие площади многоугольника.
11. Свойства площади. Измерение площади фигуры при помощи палетки.
Площадь прямоугольника.
12. Особенности математических понятий.
13. Объем и содержание понятия. Структура определения понятия через род
и видовое отличие.
14. Определение геометрических фигур. Использование определений
понятий при решении задач на распознавание.
15. Понятие высказывания и высказывательной формы (предиката). Смысл
слов «и», «или», «не» в составных высказываниях.
16. Структура высказываний, содержащих слова «все», «некоторые».
17. Правила построения отрицания высказываний
18. Логическое следование и равносильность математических предложений.
Необходимое и достаточное условие.
19. Простейшие схемы правильных рассуждений.
20. Структура теоремы. Виды теорем. Некоторые способы доказательства
теорем.
21. Текстовая задача, еѐ составные части. Приемы анализа содержания
задачи.
22. Способы поиска решения задачи. Способы проверки решения задачи.
23. Краткие исторические сведения об истории возникновения понятий
натурального числа и нуля, действий над числами. Основные функции
натурального числа в практической деятельности людей.
24. Ряд натуральных чисел, его свойства. Отрезок натурального ряда чисел.
Счет элементов конечного множества. Порядковые и количественные
натуральные числа.
25. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и
нуля. Множество целых неотрицательных чисел. Теоретико-
множественный смысл отношений «равно» и «меньше» на этом
множестве.
26. Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных
чисел. Существование суммы, еѐ единственность. Законы сложения.
Определение отношения «меньше» через сложение.
27. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных
чисел. Определение разности через сумму.
28. Необходимое и достаточное условие существования разности на
множестве целых неотрицательных числе, еѐ единственность.
29. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
30. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных
чисел. Существование произведения, его единственность. З
31. аконы умножения. Определение произведения целых неотрицательных
чисел через сумму.
32. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного
числа и натурального. Определение частного через произведение.
33. Необходимое условие существования частного на множестве целых
неотрицательных чисел, его единственность. Невозможность деления на
нуль.
34. Правила деления суммы и произведения на число.
35. Понятие деления с остатком, его теоретико-множественный смысл.
36. Краткие исторические сведения о возникновении и развитии способов
записи целых неотрицательных чисел.
37. Запись и чтение чисел в десятичной системе счисления. Сравнение чисел
по их записи.
38. Алгоритмы арифметических действий над числами в десятичной системе
счисления.
39. Приемы устного и письменного выполнения арифметических действий
над целыми неотрицательными числами.
40. Позиционные и непозиционные системы счисления. Позиционные
системы счисления, отличные от десятичной.
41. Действия над числами в различных позиционных системах счисления.
42. Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и
погрешности приближений.
43. Правила приближенных вычислений
44. Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная
совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана.
45. Понятие о задачах математической статистики. Методы
математической статистики.