1.9 Непрерывность функции

											Пусть функция определена при некотором значении , т.е. , и в некоторой окрестности .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

.

Определение 2. Если предел функции при существует и равен значению функции в точке , то функция называется непрерывной при , т.е. для непрерывной функции должно выполняться равенство

.

Причем для непрерывности функции при это равенство должно выполняться при стремлении к по любому закону.

Для того, чтобы функция была непрерывной при , требуется выполнение трех условий:

1. Точка должна принадлежать области определения функции. Функция должна быть определена не только в самой точке , но и в некоторой ее окрестности.

2. Функция должна иметь конечный предел при

.

3. Предел должен быть равен значению функции в точке , .

Если соотношение не имеет место для функции в данной точке , то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва.

Функция непрерывная в каждой точке некоторой области (интервала, отрезка) называется непрерывной в этой области.

Пример 1.9.1 Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке .

Доказательство. Пусть функция определена в точке и , тогда в точке и приращение функции , когда приращение аргумента , имеет вид

.

Найдем предел при

.

Следовательно, функция непрерывна в произвольной точке .

Аналогичным образом рассматривая каждую основную элементарную функцию, можно доказать теорему:

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.