3.6 Производная по направлению

Пусть – функция двух переменных. Если – некоторая ось на плоскости , проходящая через точку , то частная производная по направлению представляет собой

.

Градиент указывает направление, в котором скорость изменения функции для данной точки является наибольшей, а длина градиента равна этой наибольшей из скоростей роста.

Градиент функции трех переменных определяется формулой

.

Если задать направление единичным вектором с двумя углами и , образованными осью и осями координат и , то найдем

.

Градиентом функции называется вектор

.

Тогда производную по направлению можно представить как скалярное произведение единичного вектора оси и градиента функции

.

Поскольку модуль , а градиент не зависит от направления оси, то для данной точки производная будет наибольшей, если направление оси совпадает с направлением вектора .

Пример 3.6.1 Найти градиент функции и ее производную по направлению .

Решение.

.

Производная в точке по направлению равна

.

Раздел 4 неопределенный интеграл

4.1 Первообразная функция и неопределенный интеграл

В дифференциальном исчислении одной из основных задач является нахождение производной или дифференциала от данной функции :

или

.

В интегральном исчислении основной является обратная задача – отыскание функции по заданной ее производной или дифференциалу , т.е. для данной функции надо найти такую функцию , что

или

.

Функция , производная которой равна , а дифференциал называется первообразной функцией для функции .

Приведем примеры.

1) Если , то первообразная будет , так как .

2) Если , то , так как .

Заметим, что если – первообразная функция для функции , то и ( –произвольная постоянная) есть также первообразная функция, так как

.

Например, пусть , тогда будет первообразной функцией для данной функции , так как

.

Общее выражение совокупности всех первообразных функций для данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , где . Функция называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением.

Задача состоит в нахождении хотя бы одной первообразной, что достигается путем интегрирования. При этом следует иметь в виду, что правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

4.2 Простейшие свойства неопределенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

.

3. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

или .

4. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной , т.е.

или .

V. Если справедливо равенство , то справедливым будет и соотношение:

.