Вопросы для самопроверки

1. Определить предел последовательности. Привести примеры последовательности, имеющих и не имеющих пределы.

2. Сформулировать основные теоремы о сходящихся последовательностях.

3. Какая функция называется бесконечно большой величиной? Дать определение с помощью неравенств.

4. Какая функция называется бесконечно малой величиной? Дать определение с помощью неравенств.

5. Дать примеры функций, являющимися бесконечно большими величинами при различных предельных поведениях аргумента.

6. Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами?

7. Какая функция называется ограниченной в интервале?

1.4 Предел функции

Число называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого наперед заданного положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех , входящих в область определения функции, отличных от и удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

В определении предела функции следует обратить внимание на то, что вовсе не требуется, что бы функция была непременно определена в точке . Для того, чтобы функция имела возможность стремиться к пределу при , необходимо лишь, чтобы в области её существования были точки, сколь угодно близкие к и отличные от .

Данное определение можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмём число и на оси отметим -окрестность точки , через концы которой проведем прямые, параллельные оси . Получим полосу шириной . Если для любого можно указать такое , то график функции , рассмотренный для из -окрестности точки и не равных , целиком находятся в этой полосе, то число называется пределом при , стремящихся к .

0

Рисунок 1.4.1– Графическое представление предела функции

Не для всякой функции, определенной в окрестности точки , существует предел при стремлении к . Например, функция

1

0

-1

Рисунок 1.4.1 – График функции

Не имеет предела в точке .

Для функций, имеющих предел в точке, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о сходящихся последовательностях.

Если при функции и имеют конечные пределы, , , то справедливы следующие правила предельного перехода:

Предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

.

Пример 1.4.1 Найти .

Решение.

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

П ример 1.4.2. Найти .

Решение.

Предел частного двух функций равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю

,

Пример 1.4.3

.

При отыскании предела целой рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением

Пример 1.4.4 Найти

Решение. Функция - целая рациональная (полином второй степени), поэтому

.