1.2 Предел числовой последовательности

Если функция рассматривается только при целых и положительных значениях аргумента, то она называется функцией натурального аргумента. Множество её значений образует числовую последовательность: каждому целому положительному числу соответствует число - член последовательности, имеющий номер . Это значит, что

.

Числовой последовательностью называется множество значений функции , определенной на множестве натуральных чисел.

Член называется общим членом последовательности. Последовательность с общим членом содержит бесконечное множество чисел

, , ,…, ,…

и обозначается . Числа , , называются элементами или членами последовательности.

Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого её члена по его известному номеру.

Например, каждому натуральному числу ставится в соответствие число , тем самым определяется последовательность:

, , , , …, , …

с общим членом .

Последовательность называется ограниченной, если существуют два числа и такие, что при всех выполняются неравенства

.

При этом говорят, что число ограничивает последовательность снизу, а число сверху.

Последовательность ограничена, так как при всех имеют место неравенства

.

Последовательность также ограничена, так как для любого натурального справедливы неравенства

.

Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной.

Если изобразить члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Например, у последовательности все члены лежат на отрезке .

Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа всегда можно найти такое натуральное число , что для членов последовательности с номерами будет выполняться неравенство

.

Тот факт, что число является пределом последовательности , записывается в виде

или при .

Заметим, что неравенство равносильно неравенствам

.

Это означает, что число принадлежит интервалу . Такой интервал называется -окрестностью точки .

Рисунок 1.1.2 – Графическое представление предела последовательности

Определение предела можно перефразировать, придав ему геометрическую наглядность: число называется пределом последовательности , если в любую -окрестность числа попадают все члены последовательности, кроме их конечного числа. Действительно, если при , то для каждого найдётся такое число , что все члены последовательности с номерами лежат в -окрестности числа и, значит, вне этой окрестности могут находиться только первые членов последовательности.

Например, для последовательности в -окрестность точки нуль при попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, при - все члены последовательности, кроме ста, так как

, при

, при .

Таким образом, число зависит, вообще говоря, от выбранного . Если уменьшить число , то соответствующий ему номер увеличивается.

Для последовательности необязательно иметь предел, но если этот предел есть, то последовательность называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Например, рассмотрим последовательность

Функция стремится к нулю при , так как для всех , удовлетворяющих условию . Разность

положительна или отрицательна в зависимости от того, нечетно или четно . Значения , неограниченно приближаясь к нулю, становятся попеременно то больше нуля, то меньше нуля, т.е. переменная стремится к нулю, колеблясь вокруг него.

Однако последовательность

не имеет предела, так как , где , последовательно принимает значения 1, 0, -1, 0, …. Нет числа, к которому неограниченно приближалось бы.

Укажем на простой признак существования предела последовательности.

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел. Ели последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет предел.

Для последовательности возможны три случая:

1. последовательность имеет предел;

2. последовательность стремится к бесконечности;

3. последовательность не имеет предела ни конечного, ни бесконечного (например, последовательность ; в этом случае она называется колеблющейся).

По этому признаку можно иногда убедится в наличии предела, хотя сам по себе признак и не указывает, чему равен этот предел.