6.9 Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд , составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и исходный ряд сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда.

Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Ряд вида

,

где - положительные числа, называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и модуль общего члена стремится к нулю при , т.е. .

Пример 6.9.1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Находим

, , , .

1. Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине: .

2. .

Условия сходимости знакочередующегося ряда выполняются, значит данный ряд сходится.

Пример 6.9.2 Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Находим

, , , .

1. Члены ряда монотонно возрастают по модулю: ;

2. .

Условия сходимости знакочередующегося ряда не выполняются, значит данный ряд расходится.

6.10 Степенные ряды

Ряд , членами которого являются функции от называется функциональным.

Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если при он обращается в сходящийся числовой ряд.

Функциональный ряд называется расходящимся в точке , если при он обращается в расходящийся числовой ряд.

Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Функциональный ряд вида

или

,

где – числа, называемые коэффициентами, называется степенным рядом.

Ряд, который сходится при любом значении , называется всюду сходящимся.

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, при всех , для которых . Если степенной ряд расходится при , то он расходится, и притом абсолютно, при всех , для которых .

Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал , для каждой точки из него ряд сходится, и притом абсолютно, а для каждой точки вне его ряд расходится.

Если , а ( -радиус сходимости), то .

Пример 6.10.1 Определить интервал сходимости степенного ряда .

Решение. . Заменяя на , найдем . . Исследуем сходимость ряда при .

а) . Получим . Это знакочередующийся ряд который сходится по признаку Лейбница.

б) . Получим ряд . Это обобщенный гармонический ряд, который, как мы доказали, расходится при .

Итак, область сходимости данного ряда .

6.11 Ряд Тейлора. Применение рядов в приближенных вычислениях

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд вида

.

При получим ряд

.

Этот частный случай ряда Тейлора иногда называют рядом Маклорена.

Для всякой функции , которую можно дифференцировать любое число раз в точке , формально можно записать ее ряд Тейлора. Однако это еще не означает, что сумма этого ряда будет равна . Для доказательства равенства

при определенных

нужно провести специальное исследование.

Обратим внимание на то, что ряд Тейлора дает возможность представить функцию достаточно сложного происхождения ( и т.п.) в виде ряда, состоящего из простейших степенных функций.

Пример 6.11.1 Написать первые четыре отличные от нуля члена ряда Тейлора, для функции при .

Решение. Находим производные функции и их значения в точке :

,

,

,

, .

Имеем ряд .

Пример 6.11.2 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся известным из теории разложением

.

Заменяя на , найдем

.

Значит,

.