Раздел 1 вступление в математический анализ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

1.1 Понятие функции

Понятие функции является одним из фундаментальных понятий математики, позволяющим установить причинно-следственную связь между явлениями действительности. При изучении различных явлений природы и решении технических задач приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой (например, пройденный телом путь зависит от времени, а выполненная им работа зависит от величины приложенной силы). Величина называется переменной, если она в условиях задачи принимает различные числовые значения.

Переменная величина называется функцией от переменной величины , если каждому рассматриваемому значению по известному правилу или закону соответствует одно определенное значение

.

Областью определения функции называется совокупность тех действительных значений аргумента , при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Множество значений, принимаемых функцией , называется областью значений функции.

Например, расстояние , проходимое телом, свободно падающим в пустоте, является функцией времени падения тела. Каждому значению соответствует определенное значение .

Областью определения этой функции является интервал , где – время падения тела.

Необходимо подчеркнуть, что в определении понятия функции не требуется, чтобы при изменении независимой переменной функция обязательно изменилась.

Функция считается заданной, если:

1. указана область определения функции;

2. указан закон, который позволяет по заданному значению аргумента находить соответствующее ему значение функции .

Существует несколько способов задания функции:

1. Табличный способ – выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие ему значения функции .

			…
			…

Например, таблицы тригонометрических функций или логарифмов.

2. Графический способ – графиком функции называется совокупность всех точек плоскости , абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области определения функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, - значения функции.

0

Рисунок 1.1.1 – Графический способ изображения функции

3. Аналитический способ – если функциональная зависимость такова, что обозначает аналитическое выражение, то функция от задана аналитически. Аналитическим выражением называется совокупность известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности.

Например, , , .

Изучить заданную функцию – это значит охарактеризовать ее поведение при изменении независимой переменной. При этом предполагается, что независимая переменная изменяется возрастая, причем, переходя от меньших значений к большим, она проходит через все свои промежуточные значения.