6.7 Необходимый признак сходимости числового ряда

Если ряд сходится, то его общий член при , т.е.

.

• Этот общий признак не является достаточным, т.е. из того, что общий член стремиться к нулю при , нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Но если общий член не стремиться к нулю, то ряд расходится.

Пример 6.7.1 Исследовать на сходимость ряд

Решение. Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости ряда, а именно . В наше случае , тогда

.

Так как необходимое условие не выполняется, то данный ряд расходится.

Ряд, членами которого являются только положительные числа, называется знакоположительным.

6.8 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Признак Даламбера. Если для положительного ряда существует , то

• при ряд сходится,

• при ряд расходится,

• при о сходимости ряда сказать ничего нельзя, т.е. надо применять другой признак.

Пример 6.8.1 Исследовать на сходимость ряд

Решение. Находим

, .

ряд сходится.

Пример 6.8.2 Исследовать на сходимость ряд

Решение.

, .

,

следовательно, ряд расходится.

Интегральный признак Коши. Ряд с положительными членами сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

,

где – непрерывная, положительная, монотонная убывающая производящая функция.

Пример 6.8.3 Исследовать на сходимость ряд

Решение. Члены ряда можно рассматривать как значения функции при Члены ряда убывают: Вычислим

.

Несобственный интеграл сходится, значит сходится и данный ряд.

Пример 6.8.4 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

.

Ряд расходится.

Радикальный признак Коши (применяется лишь тогда, когда извлекается). Если для положительного ряда существует , то

• при ряд сходится,

• при ряд расходится,

• при о сходимости ряда сказать ничего нельзя.

Пример 6.8.5 Исследовать на сходимость

Решение. Преобразуем выражение под знаком суммы.

Применяя радикальный признак Коши, имеем:

Таким образом, исходный ряд сходится.

Первый признак сравнения. Сравним ряд с положительными членами

с другим знакоположительным рядом

• если ряд сходится и начиная с некоторого члена ряда выполняется неравенство , то ряд также сходится;

• если ряд расходится и начиная с некоторого члена ряда выполняется неравенство , то и ряд также расходится.

Пример 6.8.6 Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом

Так как каждый член исходного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда, а гармонический ряд является расходящимся (интегральный признак), то и данный ряд тоже расходится.

Замечание. Обобщенный гармонический ряд при сходится, при расходится.

Второй признак сравнения. Даны два положительных ряда и . Если существует конечный предел отношения членов ряда при , отличный от нуля, то оба ряда сходятся, либо расходятся одновременно, т.е. и .

Пример 6.8.7 Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Сравним этот ряд со сходящимся рядом (он сходится по интегральному признаку). Проверим, существует конечный, отличный от нуля предел

.

Таким образом, ряд является сходящимся.