5.4 Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функции
и
непрерывны вместе со своими производными
и
в промежутке
,
то имеет место следующая формула
интегрирования по частям:
.
Пример 5.4.1 Вычислить интеграл
.
Решение. Полагая
,
,
имеем
,
,
следовательно,
.
Пример 5.4.2 Вычислить интеграл
.
Решение. Полагая
,
,
имеем
,
,
следовательно,
.
5.5 Несобственные интегралы
5.5.1 Интегралы с бесконечными пределами
Определение интеграла, приведенное в
п. 2.1, было дано в предположении, что
областью интегрирования является
конечный промежуток
.
Если же предположить, что область
интегрирования бесконечна, например,
является интервалом
,
то даже для непрерывной функции
обычное определение интеграла становится
неприемлемым. В данном случае нельзя
говорить об интегральных суммах, так
как при любом разбиении интервала
на конечное число частей одна из этих
частей будет бесконечной.
Если интеграл
стремится к конечному пределу при
неограниченном возрастании
,
то этот предел называют несобственным
интегралом с бесконечной верхней
границей от функции
и обозначают символом
.
Таким образом,
.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует (в частности, если он бесконечен), то говорят, что интеграл не существует или расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой
,
где
– любая фиксированная точка оси
.
Таким образом, интеграл
существует тогда и только тогда, когда
существует каждый из интегралов
и
.
5.5.2 Интегралы от непрерывных функций
а) Пусть
непрерывна во всех точках отрезка
за исключением точки
,
где
,
тогда:
.
б) Пусть
непрерывна во всех точках отрезка
за исключением точки
,
тогда:
.
в) Пусть непрерывна во всех точках отрезка за исключением точки , тогда:
.
г) Пусть непрерывна во всех точках отрезка за исключением точек и , тогда:
.
Эти интегралы могут как сходиться, так и расходиться.
Пример 5.5.2.1 Исследовать интеграл
на сходимость
.
Решение.
– интеграл сходится.
Пример 5.5.2.2 Исследовать интеграл
на сходимость
.
Решение.
– сходится.
Пример 5.5.2.3 Исследовать интеграл
на сходимость
.
Решение.
– интеграл расходится.
Пример 5.5.2.4 Исследовать интеграл
на сходимость
.
Решение.
– расходится.
Раздел 6 Дифференциальные уравнения. Ряды
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или ее дифференциалы).
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящий в уравнение.
Дифференциальное уравнение порядка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до порядка включительно и имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
Задача состоит в определении из дифференциального уравнения неизвестной функции, а процесс определения функции называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решением уравнения первого порядка
называется всякая дифференцируемая
функция
,
удовлетворяющая этому уравнению, т.е.
такая, после подстановки которой в
уравнение оно обращается в тождество
.
Кривая , определяемая решением уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется соотношение вида
,
содержащее произвольную постоянную и являющееся решением дифференциального уравнения при любом действительном значении постоянной .
Иногда вместо общего решения получают общий интеграл
,
где – функция переменной .
Уравнения определяют семейство интегральных кривых уравнения первого порядка.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое получается из общего решения при некотором частном значении произвольной постоянной.