Раздел 3 дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Если каждой паре
значений двух, независимых друг от
друга, переменных величин
и
из некоторой области их изменения
,
соответствует определенное значение
величины
,
то мы говорим, что
есть функция двух независимых
переменных
Функция двух переменных может быть задана:
аналитически;
с помощью таблицы.
Совокупность пар значений и , при которых определяется функция , называется областью определения или областью существования функции.
Если функция
определена в точке
и в некоторой ее окрестности и
,
то функция
называется непрерывной в точке
.
Если каждой совокупности значений
переменных
соответствует определенное значение
переменной
,
то мы будем называть
функцией многих независимых переменных
.
Областью существования функции
называется совокупность значений
независимых переменных
при которых функция определена.
3.1 Частное и полное приращение функции
Рассмотрим функцию – функцию двух переменных. Пусть получит приращение , а не меняется, тогда получит частное приращение по
.
Аналогично, если получит приращение , а – не меняется, то получит частное приращение по
.
Полное приращение функции
получает при изменении
на
и когда
получает приращение
.
Полное приращение функции не равно сумме частных приращений
.
Пример 3.1.1 Найти частные и полные
приращения функции
при изменении
от 2 до 2,2 и
от 1 до 0,9.
Решение. Имеем
Тогда
.
3)
4)
Найдем сумму частных приращений
,
т.е.
.
3.2 Частные производные функции
Частной производной I порядка по
от функции
называется предел отношения частного
приращения
к приращению
при стремлении
к нулю
|
|
,
.
Частной производной I порядка от функции по переменной называется производная по , вычисленная в предположении, что – const.
Частной производной I порядка от функции по переменной называется производная по , вычисленная в предположении, что – const.
Пример 3.2.1 Найти первые частные производные функций:
.
2)
.
Решение.
1)
2)
.
Приращения независимых переменных
и
называют дифференциалами независимых
переменных
и
.
Полный дифференциал I порядка функции равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных
Если сравнивать полный дифференциал
функции
и полное приращение функции
,
то как и в случае функции одной переменной
они отличаются на бесконечно малую
величину высшего порядка (при бесконечно
малых
).
Пример 3.2.2 Найти (и сравнить) полное
приращение
и полный дифференциал
функции
.
Решение. Найдем полное приращение
.
Найдем полный дифференциал
,
,
.
Таким образом,
.
а)
б)
.
Разность между полным приращением функции и ее полным дифференциалом тем меньше, чем меньше приращения независимых переменных.