2.7 Производные высших порядков

Производной второго порядка функции называется производная от ее первой производной: . Вторая производная обозначается:

, или .

Если – закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения.

Аналогично производная третьего порядка функции есть производная от производной второго порядка: .

Производной -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка: . Обозначается -я производная так: , или .

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Если функция задана параметрически: то производные , ,…, вычисляются по формулам

, , и т.д. (2.7.1)

Пример 2.7.1 Найти производную -го порядка функции .

Решение. Имеем:

,

,

,

……………………

.

2.8 Применение производных для исследования функций

Понятие производной можно применять для аналитического исследования свойств функции и построения ее графика.

Областью определения функции называют множество значений аргумента , при которых функция определена.

Функция называется четной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно оси . Функция называется нечетной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно начала координат. Если функция не является ни четной, ни нечетной, то эта функция общего вида.

Функция называется возрастающей на не­котором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

Признаки возрастания и убывания функций:

• Если во всех точках некоторого интервала производная , то функция на этом интервале возрастает.

• Если во всех точках некоторого интервала производная , то функция на этом интервале убывает.

Пример 2.8.1 Найти интервалы монотонности функции

.

Решение. Областью определения данной функции является вся ось . Находим производную . Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство ; чтобы найти интервалы убывания функции, решим неравенство . Корни квадратного трёхчлена равны 1 и 2, поэтому распределение знаков квадратного трехчлена имеет вид

+ – +

1 2

Рисунок 2.8.1 – Распределение знаков квадратного трехчлена

Следовательно, на интервалах и функция возрастает, а на интервале функция убывает.

Необходимый признак экстремума: если точка является точкой экстремума, то в этой точке производная равна нулю или не существует.

Точки, в которых первая производная равна нулю, а также, в которых она не существует, но функция сохраняет непрерывность, называются критическими точками первого рода.

Достаточный признак экстремума: если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то критическая точка является точкой экстремума. Это точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если производная меняет знак с минуса на плюс.

Пример 2.8.2 Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

1. Область определения .

2. Найдем производную данной функции .

3. Приравняем производную к нулю и, решив это уравнение, найдем критические точки функции , .

4. Исследуем критические точки по достаточному признаку экстремума. Это удобно делать в таблице 2.8.1:

Таблица 2.8.1– Исследование функции

		0		2
		0		0	

Для нахождения знака производной достаточно подставить в нее любое значение из рассматриваемого интервала. Так, исследуя интервал , можно взять, например, точку и подставить это значение в производную: . Исследовав, указанным образом знаки производной в интервалах , замечаем, что производная меняет знак при переходе через точку 0 (с “+” на “”) и при переходе через точку 2 (с “–” на “+”). Значит, – точка максимума, а – точка минимума. Значения функции в этих точках равны , .

Заметим, что, исследуя функцию на экстремум, мы одновременно находим и интервалы монотонности функции.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала .

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала. Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.

Рисунок 2.8.2 – График График

выпуклой функции вогнутой функции

Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции: если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале; если , то на интервале график функции вогнутый.

Точки кривой, в которых вторая производная или не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.

В критической точке второго рода перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку меняет знак.

Пример 2.8.5 Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение.

1) Область определения функции – интервал .

2) Найдем первую и вторую производные функции

, .

3) Решим уравнение и находим, что и . Это критические точки, которые делят область определения функции на интервалы , , . Определим знак второй производной

+ – +

2 3

Рисунок 2.8.4 – Знак второй производной

На интервале кривая выпукла , а на интервалах и – вогнута . Таким образом, при переходе через точки и вторая производная меняет знак. Эти точки является точками перегиба. Значения функции в точках перегиба: , .

Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Различают асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Кривая имеет вертикальную асимптоту , если при , или при . . Вертикальные асимптоты – это нули знаменателя функции.

2. Кривая имеет горизонтальную асимптоту , если при .

3. Для определения наклонной асимптоты кривой надо найти числа и по формулам

,

(иногда следует отдельно рассматривать случаи и ).

Рекомендуется исследование функций методами дифференциального исчисления проводить, придерживаясь следующего примерного плана.

1. Найти область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва.

2. Определить четность или нечетность функции, ее периодичность.

3. Найти точки пересечения графиком функции осей координат.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции.

6. Определить интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.

7. По результатам исследования построить график функции.

Пример 2.8.6 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси за исключением точек и , в которых функция имеет разрыв.

2. Так как нельзя записать, что или что , то данная функция ни четная, ни нечетная. Это функция общего вида. Функция не является периодической, потому что она представляет рациональную дробь.

3. Так как , то график проходит через начало координат.

4. Поскольку функция имеет точки разрыва, то ее график имеет вертикальные асимптоты: и .

Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как .

Проверим наличие наклонных асимптот , где

,

.

Уравнение наклонной асимптоты .

5. Определяем интервалы монотонности функции, максимумы и минимумы.

Для этого найдем производную .

Приравняем производную к нулю: и определим критические точки первого рода: , , . Так как при функция имеет разрыв, то эти значения не будут критическими.

Определим знаки производной в интервалах , , , , , , на которые точки , , разбивают всю область определения данной функции и занесем полученные данные в таблицу 2.8.7.

Таблица 2.8.7 – Исследование функции с помощью первой производной

	-	0	+	-	+	0	+	-	+	0	-
		min		-		-		-		max

, .

6. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

Находим вторую производную ; при , а при не существует. Определим знаки в каждом из интервалов , , , (таблица 2.8.3).

Таблица 2.8.8 – Исследование функции с помощью второй производной

			0
	+	–	0	+	–
График	вогнутость	выпуклость	перегиб	вогнутость	выпуклость

Рисунок 2.8.9 – График функции _.