2.4 Дифференцирование неявной функции

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то называется неявной функцией . Нахождение производной функции, заданной неявно, заключается в том, что обе части уравнения дифференцируются по . С учетом того, что есть функция , из полученного уравнения определяется .

Пример 2.4.1 Найти производную от функции, заданной неявно .

Решение. Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим:

, .

Пример 2.4.2 Найти , если .

Решение. При дифференцировании последнего слагаемого надо применить формулу для дифференцирования произведения и тогда

.

Поэтому получаем

.

Сокращаем на 3, раскрываем скобки, переносим члены, не содержащие , в правую часть равенства и получаем

; .

2.5 Логарифмическое дифференцирование

Если требуется продифференцировать произведение нескольких функций или дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения, часто представляется удобным обе части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию , а потом уже приступить к дифференцированию. К этому приему удобно прибегать и при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей. Дифференцирование показательно-степенных функций

,

т.е. когда и основание степени, и показатель степени есть функции , возможно только с помощью логарифмического дифференцирования.

Пример 2.5.1 Найти производную , .

Решение. Логарифмируем:

.

Дифференцируем это равенство, считая неявно заданной функцией переменной :

.

Умножим обе части этого равенства на , учитывая, что есть заданная функция, получим:

.

Пример 2.5.2 Найти производную .

Решение. Логарифмируя обе части равенства, получим

.

Теперь дифференцируем:

; .

Умножая обе части равенства на , который по условию равен , окончательно получаем: .

Пример 2.5.3 Найти производную .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства

.

Теперь продифференцируем обе части, считая сложной функцией переменной :

.

Умножая обе части этого равенства на , получаем

.

2.6 Дифференцирование функций, заданных параметрически

В геометрии и механике часто применяется так называемый параметрический способ задания уравнения кривой. Кривую линию можно рассматривать как геометрическое место последовательных положений движущейся точки, а координаты и этой точки выразить в виде непрерывных функций вспомогательной переменной , которая называется параметром. Плоская кривая в этом случае определяется двумя уравнениями:

(2.6.1)

причем параметр должен измениться в таком промежутке, чтобы при изменении его в этом промежутке точка с координатами описывала всю кривую или ее рассматриваемую часть. Предполагается, что каждому значению соответствует только по одному значению и .

Задание кривой уравнениями (2.6.1) называется параметрическим.

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле

.

Пример 2.6.2 Найти производную от функций, заданных параметрически

1. 2) 3)

Решение. Находим и :

1. , .

Далее имеем:

.

2. , ,

.

3. , ,

.