Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение непрерывности функции в точке и на отрезке.

2. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке. Дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

3. В чём состоит различие утверждений: “функция непрерывна при ” и “существует конечный предел функции при ”?

4. Какие точки называются точками разрыва функции? Их классификация.

Раздел 2 дифференциальное исчисление функции одной переменной.

2.1 Понятие производной функции

Рассмотрим функцию . На кривой (рис. 2.1.1) возьмем произвольную точку с абсциссой . Придадим приращение . Новому значению соответствует точка кривой. При этом функция получит приращение

.

Рисунок 2.1.1 – Геометрический смысл производной

Отношение показывает, во сколько раз “в среднем” приращение функции больше (или меньше) приращения ее аргумента . Это отношение называют средней скоростью изменения функции на участке . Чем меньше , тем лучше средняя скорость на участке будет характеризовать ту скорость, с которой меняется функция в точке . Поэтому за мгновенную скорость изменения функции в точке естественно принять

.

Этот предел и называется производной.

Определение.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: .

Производная представляет собой скорость изменения функции в точке , т.е. скорость, с которой изменяется функция при переходе через точку . Таков наиболее общий смысл производной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке , т.е. угловому коэффициенту касательной.

В теоретическом плане подчеркнем, что существование предела, которым выражается производная, надо понимать в общем смысле существования предела функции в точке. Это означает, что должен существовать не только при , но и при , причем оба предела должны совпадать. С геометрической точки зрения это условие означает независимость предельного положения секущей от выбора точки справа или слева от точки .