1.11 Односторонние пределы функции

Если отыскивается предел функции при условии, что , стремясь к , может принимать только такие значения, которые меньше , то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции . Для того, чтобы показать, что стремится к , оставаясь меньше , применяется запись

.

Если отыскивается предел функции при условии, что , стремясь к , может принимать только такие значения, которые больше , то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции. Для того, чтобы показать, что стремится к , оставаясь больше , применяется запись

.

Очевидно, что предел функции при существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы . В связи с этим можно дать еще одно определение непрерывной функции.

Определение 1 Функция называется непрерывной при , если ее правосторонний и левосторонний пределы существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке

.

Пример 1.11.1

Рассмотренная в разделе 4 функция не имеет предела в точке . Однако, если ограничиться рассмотрением только положительных , то предел при , стремящемся к 0, существует и равен +1

.

Если же рассматривать только отрицательные , то предел при , стремящемся к 0, существует и равен –1

.

1.12 Бесконечные пределы

Пусть функция определена в некоторой правой окрестности точки и существует правосторонний предел функции , равный 0

.

Например, функция определена при и .

Если в правой окрестности точки и , то говорят, что функция стремится к при стремлении справа к точке и пишут

.

Если в правой окрестности точки и , то говорят, что функция стремится к при стремлении справа к точке и пишут

.

Аналогично определяются бесконечные пределы слева в точке для функции , определенной в левой окрестности точки .

Пример 1.12.1 Для функции найти пределы справа и слева в точке .

Решение. Функция определена в окрестности точки , но не в самой этой точке, и

.

Функция положительна правее точки и отрицательна левее точки , поэтому определению бесконечных пределов справа и слева получим

, .

Учитывая, что , , получим искомый график.

				1
	-1
					1
		-1

Рисунок 1.12.1 – График функции

Если функция при , стремящемся к справа или слева, имеет бесконечный предел, то при графическом изображении этой функции проводим прямую . Это делает изображение более наглядным.