40.Дифференциальное уравнение(ду)
Осн.понятия
О1. ДУ – ур-е, сод неизв ф-цию, независ переем-ю и ее производные различных порядков.
Если неизв ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).
Если неизв ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.
В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y(n))=0 (1) неявный
y(n) =f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2)явный
Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.
О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ.
42. Задача Коши для обыкновенных ду и её геом. Смысл.
Задача нах-я реш-я y=y(x)
ур-я y`=f(x,y),
удовлет. нач. усл. 
,
где 
– заданная точка в обл.D,
наз. задачей Коши.
Геом. смысл задачи Коши состоит в
определении той интегральной кривой,
которая проходит через заданную точку
43. Ду 1го порядка - 44.Ду с разделяющимися переменными
Имеют вид: y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)
1) y’=f(x) dy/dx=f(x)
dy=f(x)dx dy=f(x)dx y=f(x)dx
2) y’=f(y) dy/dx=f(y)
3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными f(x)dx=f(y)dy
4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)
ДУ с разделяющимися переменными
Ур-е вида (4) реш по схеме:
d(y)/d(x)=f(x)gy
d(y)/g(x)=f(x)d(x)
M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)
5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка (ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y) наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR)
реш с помощью подстановки
z=y/x y=zx y’=z’xx+z
z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x
6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by
45. Однородные ур-я 1го порядка.
ДУ y`=f(x,y) наз однородным, если ф-я f(x,y) однород. ф-я в 0 степени
46. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Метод подстановки Бернулли
y’+p(x)=q(x) (1)
y=uv, u=u(x), v=v(x) – некот. ф-ции, зав. от х подставив получим
u’v+uv’+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
v’+p(x)v=0 (2)
u’v=q(x) (3)
2 и 3 идут как система
v=v(x)
u’=q(x)/v(x)
u=Sq(x)/v(x)dx
47. Метод вариации произвольной постоянной.
y’’+py’+qy=f(x)
(1) с пост. коэффициентом. Общее
решение ур-я 1 можно записать в виде
,
где yo – общее решение
соответств. однородного ур-я y’’+py’+qy=0,
а y*- частное решение ур-я
1. Одним из способов найти частное реш-е
ур-я 1 является метод вариации
произвольной постоянной Лагранжа:
y0=C1y1(x)+C2y2(x) y(x),y’(xa) – находимая ф-ция,
y*=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x) с1(x)c2(x) – коэф. ф-ции
c1’(x)y1(x)+c2’(x)y2(x)=0 (2) f(x) – прав. часть ур-ня (1)
c1’(x)y1’(x)+c2’(x)y2’(x)=f(x) (3)
(2) и (3) – система уравнений
48. Понятие линейной независимости ф-й. Опр-ль Вронского
Совок-ть ф-й 
наз-ся лин-завис. на промеж. (a,b),
если такие числа 
одноврем.0, что 
,
в противном усл. ф-и 
наз. лин-независ.
Опр-ль Вронского
W(x)=
=
)
Теорема. Если сист. ф-й
лин-незав. на пром.(a,b),то
их опр-ль Вронского 
0
на (a.b)
Следствие(дост.усл.лин.незав.ф-й). Если опр-ль Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке из пром(a,b), то сист. ф-й лин. незав на (a,b)
50-51. Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение. Общее решение.
Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:
(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция
Если r(x) =0, то
(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.
Ур-е вида (3)
=0
– характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего
решения ур.(2) определяется корнями
квадр.ур-я. (3)
Возможны 3 случая
1. кв.ур-е имеет разные корни α1
α2,
D>0 тогда общее решение:
y=C1
C1, C2 прин.R
2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0
y=
C1, C2 прин.R
3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;
y= C1
C1, C2 прин.R