33. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Точка Ро назыв. точкой локального max. и min., если сущ. такая Ебс-окр. это точки, что для всех точек Р из этой окр. отсеченных от самой Ро выполняется неравенство: f(Po)>f(P) или f(Po)<f(P). Точки max. и min. назыв. экстремумы, а значение в этих точках – экстрем. функции.

34.Необходимые условия существования экстремума:

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой - окрестности точки . Тогда функция z = f(x,y) имеет в точке максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство

Теор. Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f (x₀,y₀)/ x=0 ;∂f(x₀,y₀)/ y=0 (система). Экстремумы функции f(x,y) надо искать в точках, координаты которые удовлетворяют системе уравнений. Из этой системы ищем критические точки.

35. Достаточные условия экстремума

Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,

A = , B = , C = , , тогда 1) , причем max, если A<0, min, если A>0. 2) , экстр-ма в т. нет 3) , треб-ся доп исслед-е

36. Применение теории лок. Экстрем. В задачах экономики.

Теория лок.экстрем. применяется для решения таких задач, как, например, хоз-во робинзона(он стремится организовать своё хоз-во так, чтобы при имеющихся у него матер. и труд. ресурсах объём и ассортимент производимых благ им в макс. возможной степени удовлетворил его потреб.), нахождения прибыли от пр-ва разных видов товара, нахождения эффективности трудовых и капитальных затрат.

37. Прибыль от пр-ва разл. Видов товара.38.Максимиз. Ф-и прибыли

Обозначим через неизвест. ..., кол-во производ. m видов товара, а их цены, через Пусть затраты на пр-во товаров задаются ф-ей издержек S( ..., ). Тогда ф-я прибыли в усл. ненасыщ. Рынка будет иметь вид D( ..., )= … - S( ..., ).Требуется определить такие к-ва производимых m разновидностей товара, которые дают макс.прибыль. Для 2х товаров S( )= . Потом от ф-и прибыли найти 1е част. пр-е, составить из них систему и найти коорд т. . потом найти 2е част.пр-е. и в ним подставляем координаты т. и из них составить матрицу. Если опр-ль>0, то это точка экстремума, если нет, то нет. Если

39. Метод наименьших квадратов (для случая f(x)=ax+b).

Зависим. некот. величины у от пермен. х часто выраж в виде табл. данные ко-й получ. эксперемент.: (1)

Х	х1	х2	х..	хn
Y	y1	y2	y..	yn

Для обраб. инфы удобно иметь в виде формулы y=f(x), где f(x) – некот. ф-ия, кот. нам пока не известа, Вид этой f(x) можно орпед-ть, исходя из граф. соображ.

f(x) будит лишь приближ. опред. зависим. м-ду у и х. Степень отклон. можно оценить след. способами:

1. 2. 3.

Наиболее точн. критерием для оценивания явл. 3-й способ, т.е. max точноть будит достигнута в том случае, если –>min – метод наим. квадратов:

Пусть f(x) имеет вид ax+b (2), тогда рассмотрим z(a,b)= . Найти наим. знач ф-ции.

(3)

(4)

(3) и (4) система. Эта система имеет одно реш. (a0,b0), кот. явл. min знач. ф-ции (2) z(a,b)

41.Опр-е общего, частного и особого решений.

О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=(x,c₁,c₂,…,c_n), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных

О4. Частным реш ДУ наз реш, получ из общего при некот конкретных числовых значениях постоянных c₁,c₂,…,c_n

О5. Решение ДУ, которое невозможно получить из общего ни при каком значении постоянно С, наз. особым решением.