26. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.

Число А называется пределом функции f(x,y), при xxo, yyo, если для любой последовательности точек (xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А. f(xn,yn)A

Св-ва:

1. арифметические операции

2. Если ф-я f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. Ебселент-окрестности т. Ро

3. Если , то сущ. такая Ебселент-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).

Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.

Функция f(Pn) называется непрерывной в точке Po, если . Непрерывна на мн-ве D , еслиона непрерывна в каждой т., этого мн-ва.

Св-ва:

1. сумма произведения и частное (если делитель ≠0) есть непрер. функции

2. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве принимает на этом мн-ве своё наим. и наиб. знач-е

3. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве и принимает на этом мн-ве любое знач-е, заключ. м/д m и M.

28. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Полным приращением функции в точке Мо(xо,yо) называется разность f(хо+х,yo+y) - f(xо,yо) = f. Если функция f(x,y) определена в окрестности точки Мо и имеет непрерывные частные производные, то полное приращение функции можно выразить формулой: f=f ‘xх+ f ‘y* y +(х)х+ (y)y. (х) и (х) – бесконечно малые числа и 0. Линейная часть приращения функции относительного приращения аргумента х и y называют полным дифференциалом. f(x,y)dZ или df, df=f ‘xх+ f ‘yy.

29.Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине х и y, приращение функции fdf.

f= f ‘xх+ f ‘yy+ (х)х+ (y)y.

f(хо+х,yo+y) - f(xо,yо)= f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y.

f(хо+х,yo+y) f(xо,yо)+ f ‘x(xo,yo)x+ f ‘y(xo,yo)y.

30. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Пусть ф-ия z=f(x,y) определена на некот. δ-окрест. т. Mo(x0,y0) и пусть M(x,y) принадлежат этой окр.

Пусть ∆x=x-x0, ∆y=y-y0, тогда:

Ф-ия z=f(x,y) назыв. дифференц. в точке Mo(x0,y0), если сущ-ют два числа А и В, таких, что: ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x, ∆y), где α(∆x, ∆y) –ε(∆x, ∆y)ρ, ρ≠0.

31. Градиент ф-и

Рассм ф-ю 2 перем. z=f(x,y) Вектор коорд. кот.=1м част. пр-м, вычисленным в т. и называется градиентом ф-и. Градиент имеет обозначение: grad f(палочка вниз и внизу её)=(). Градиент, вычисленный в т. хар-ет направ. и велич. макс. скорости возраст. ф-и в указ точке.

32. Частные пр-е высших порядков, теорема о смеш. Пр-х.

Частными пр-ми 2го порядка данной ф-и наз-ся соответствующие част. пр-е от первых её част. пр-х. Для ф-и z=f() двух пер-х возможны четыре вида част. пр-х 2го пор.: