12. Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен

x+p/2=t dx=dt a²= или

IV

V. p²/4-q>0

p²/4-q<0

Интегрирование рациональных дробей

1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=P_n(x)

Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет

Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком

Интегрирование простейших дробей

I. x-a=t dx=dt

II. x-a=t dx=dt

13. Интегрирование спец. классов ф-й .

Для нахожд. интегр. вида примен. подстановки Эйлера:

1. = ±x +t,если а>0

2. = ± +xt, если с>0

3. Если – действ. корни трёхчлена , то в этом случае , где – один из корней 3хчлена.

14.Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:

15. Интегрирование по частям в О.И.

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

→

16. Формула Ньютона-Лейбница.

Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула

.

Док-во:

пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:

Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫_a^a f(x)dx=0 Ф(b)=∫_a^b f(x)dx

Имеем C=-F(a) ∫_a^b f(x)dx+F(a)=F(b) ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

17.Опред. Интеграл в эк-ке:

u=f(t) – пр-ть труда, тогда V прод-ии, произвед. за время от t до t2 равен

Пусть ф-ия k(x) опред. зависим. TC от Q прод-ии x, тогда f знач. TC при выпуске Q от а до b, x принадлеж. [a; b], опред.:

27. Частные пр-е 1го порядка

Рассм ф-ю 2 перем. z=f(x,y), где x,y Ω с .Возьмём любую точку Ω, через ∆x и ∆y обозначим приращение по х и у, тогда полное приращение имеет вид:∆z=f( +∆x, +∆y)-f( ). Рассм. отн-е частного прир-я по пер-й z к вызвавшему его прир-ю: рассм. предел, когда ∆x→0, этот предел может существовать и не сущ-ть. Если сущ-т, то он наз. 1й част. пр-й по пер-й х ( , z`x):

Для того, чтобы находить 1й част. пр-е примен. след правило: 1я част. пр-я по х – это обыкн. пр-я по пер-й х при усл., что у=const

69. Достаточное условие разложение ф-й в степенные ряды

Если в некотором интервале, содержащем точку , абсолютные величины всех пр-х ф-ии f(x)ограничены одним и тем же числом M ≤M, n=1,2…, то ф-я f(x) в этом интервале разлагается в ряд тейлора.

18. Вычисление площадей плоских фигур:

1 . на и

2 . на и

3 . на график имеет вид

4 . даны две функции: и на промежутке

5 . на промежутке то получаем

6 . и на промежутке (графики ориентированны на )

19. Длина дуги плоской кривой.

Пусть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]

- длина дуги АВ

y(k-1) M(k-1)

M1

y k A Mk

M(n-1) B

a=x0 x1 x2 xk x(n-1) b=xn

20. Вычисление объёмов тел вращения.

23. Неберущиеся интегралы.

Опрерация дифференц-я не выводит нас из класса элемент.ф-й. С операцией интегрир. дело обстоит иначе: интегралы от некот. элемент. ф-й уже не явл. элемент. ф-ми. Например: – интег. Пуассона; – инт. Френеля;

– интег.логарифм,

24. Евклидова плоскость и евклидово пр-во

Координатную плоскость называют евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками определяется по ф-ле

Аналогично вводится понятие трёхмерного евклидово пр-ва. В этом случае каждая точка М коорд. пр-ва хар-ся упорядоченной тройкой чисел , а расстояние между любыми двумя точками пр-ва опред-ся ф-лой

25. Понятие функции нескольких переменных.

Пусть имеется 2 непустых множества: DR(в квадрате),UR. Если каждой паре чисел (x,y)Dy; по некоторому правилу поставлен в соответствии 1 единственный элемент из множества U, то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве U, при этом пишут, что f: DU. Множество D называется областью определения функции, множество U, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)D ,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: U=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости. Ф-ю неск. веществ. перем. Как и ф-ю одной перем., можно задать аналитическим, табличным или описат. способом.

Графиком ф-и z=(f,y) ((x,y) Ω) назыв. мн-во точек в пр-ве R³,коорд. x,y, кот. принад.Ω, а z нах. по ф-ле z=(f,y).Даже для ф-и 2х перем. изуч. и изобр. график ф-и затруднит. С целью изуч. граф. ф-и будет понятие линии ур-ня. Линией ур-ня С наз. совок. точек на плоск. Оху, для кот. (f,y)=С(const). В эк. линией ур-ня наз. изоквантами, изокостами в завис. от того, какой эк. проц. изучается.