§3.Два «замечательных» предела
Цель: формирование умения вычислять пределы функций функции с использованием первого и второго замечательного предела..
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
В математике и ее приложениях широко используются два замечательных предела функции.
Теорема о первом замечательном пределе
Предел функции
в точке
существует
и равен единице:
Пример 1.
Предел функции
Варианты ответов:
Решение: Чтобы использовать первый замечательный предел, надо преобразовать данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 5, после чего применим теорему о первом замечательном пределе.
Ответ: 5.
Пример 2.
Предел функции
Варианты ответов:
Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 2.
Пример 3.
Предел функции
Варианты ответов:
Решение:
Преобразуем
данную дробь так, чтобы в знаменателе
был аргумент синуса, а в числителе
аргумент тангенса. Для этого сначала
умножим и числитель, и знаменатель на
3х, а затем применяем теорему о пределе
произведения:
Теорема о втором замечательном пределе
Предел функции
при
существует и равен е:
Число
является
одной из фундаментальных величин в
математике. Логарифм числа х
по основанию е
называется
натуральным логарифмом и
обозначается
Показательная
функция
вида называется
экспонентой.
Пример
4. Предел
функции
равен…
Варианты ответов:
Решение:
проведем
замену переменой, полагая
Тогда
Пример
5. Предел
функции
равен…
Варианты ответов:
Решение:
проведем
замену переменой, полагая
При
Тогда,
Пример 6.
Предел функции
равен…
Варианты ответов:
Решение:
проведем
замену переменой, полагая
При
Тогда,
Пример 7.
Найти предел
Решение:
проведем
замену переменой, полагая
При
Тогда,
Задания для самопроверки:
Найти
предел, используя теоремы о двух
замечательных пределах функции:
§4. Правила и формулы дифференцирования
Дифференцирование - это математическое действие по нахождению производной функции.
Если С – постоянная (число), х - переменная (аргумент), u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования.
Правила дифференцирования:
Производная постоянной равна нулю.
Производная переменной равна единице.
Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных функций, её составляющих.
Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую.
4а)
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
4б)
Производная частного (дроби) равна разности произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, деленной на квадрат знаменателя.
Таблица производных основных элементарных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти производные функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
Решение:
а) Используя правило
(4а)
вынесем
постоянный множитель за знак производной,
а затем применим формулу (6)
,
где m-
любое действительное число;
3
.
Аналогичным образом, используя правило (4а) и формулу (6), получим:
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
е)
Пример 2. Найти производные следующих функций:
а)
;
б)
.
Решение:
а) Применив последовательно правило
(3)
и
формулы
,
,
имеем
.
б)
Применив
последовательно правило (3)
и
формулы
,
,
,
имеем
.
При навыке дифференцирования промежуточные действия выполняются в уме и поэтому в подобных примерах сразу же записывается окончательный результат дифференцирования.
Пример 3. Найти производные следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
вычислить
и
.
Решение: а)
Используя последовательно формулы (4),(3),(6),(1),(4б), находим
=
=
.
б)
Используя последовательно формулы (5),(3),(6),(1), находим
в) ; вычислить и .
По
свойству степени
имеем
.
Используем формулы (4а),
(6).
Тогда
Для вычисления и нужно в выражение производной вместо х подставить значения -1 и 2.
,
.
Пример 4. Найти производные следующих функций:
1)
;
2)
;
1) ;
Используя последовательно формулы (4), (3), (6a), (1), (12a), находим
2)
Используя последовательно формулы (3), (8a), (4), (2), (10a), получим
=
Пример 5. Найти производные следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
а)
Решение. Применив последовательно формулы (4а), (5), (3), (2), (1), (18a), получим
б)
Решение.
Используя свойства степеней и корней
,
запишем
данную функцию следующим образом:
Применив формулы (3), (4а), (6a), получим
г)
Решение.
Используя свойства степеней и корней
,
запишем
данную функцию следующим образом:
Применив формулы (3), (4а), (6a), (1) получим
