§ 12. Решение вероятностных задач.

Цель: формирование умения применять формулы комбинаторики для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний, а также вероятностей событий.

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов различных множеств.

Перестановки	Размещения	Сочетания
Упорядоченный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов	Конечные упорядоченные множества называются размещениями	Конечные множества называются сочетаниями
- число перестановок из n-элементов	- число размещений из n-элементов по m	- число сочетаний из n-элементов по m
Комбинации, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов при их неизменном числе	Комбинации, отличающиеся друг от друга не только порядком следования элементов, но и самими элементами	Комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Порядок следования элементов не имеет значения
(читается «эн факториал»)
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ
Сколькими способами можно составить список из 8 человек? способов	Из группы студентов 30 человек надо выбрать старосту, культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать? способов	Из группы студентов 30 человек надо выбрать трех человек слушателями на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

Основные правила комбинаторики

1.Правило суммы: Если объект А может быть выбран m-способами, то выбор одного элемента или А, или В - может быть осуществлен (m+n) способами.

Задача 1: В одной вазе лежат 5 яблок, а в другой 11 мандаринов. Сколькими способами можно выбрать одно яблоко или один мандарин?

Решение: одно яблоко можно выбрать пятью способами, один мандарин – другими одиннадцатью способами. Тогда по правилу суммы яблоко или мандарин можно выбрать N=5+11=16 способами.

2.Правило произведения: Если объект А может быть выбран m-способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n-способами, то выбор пары объектов А и В

в указанном порядке может быть осуществлен ( ) способами.

(Эти правила могут быть распространены на случай выбора из трех и более множеств).

Задача 2: В магазине имеется четыре вида ручек и три вида карандашей. Сколько разных комплектов, содержащих ручку и карандаш можно приобрести в данном магазине?

Решение: комплектов.

Перестановки с заданным числом повторений

Перестановки с заданным числом повторений находятся по формуле

Задача 3: Найти число различных перестановок в слове «колобок».

Решение: в слове колобок всего -7 букв (n=7), но К - повторяется 2 раза, О - повторяется 3 раза.

различных перестановок.