Вопрос 3. Основные характеристики функций Четность(нечетность)

О.3.1.Функция y = f(x), определенная на множестве Х, называется четной (нечетной), если:

1) для любого xX  xX (множество Х симметрично относительно 0);

2) f(x) = f(x) (f(x) = f(x)).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – относительно начала координат.

Монотонность

О.3.2.Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на промежутке Х, если для любых x₁, х₂X из того, что x₁ < х₂ следует, что f(x₁) < f(x₂) (f(x₁)  f(x₂)).

О.3.3.Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на промежутке Х, если для любых x₁, х₂X из того, что x₁ < х₂ следует, что f(x₁)  f(x₂) (f(x₁)  f(x₂)).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Ограниченность

О.3.4. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число М>0, что для любого хХ: f(x)  М.

Пример 3.

1. y = sin x - ограниченная функция (sin x  1).

2. у = х² - ограниченная снизу функция (х²  0).

3. у = х² - ограниченная сверху функция (х²  0).

Периодичность

О.3.5. Функция y = f(x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что для любого хХ: (х + Т)Х и f(x + Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

Т.3.1. Если функция y = f(x) имеет период Т, то и любое число вида kT (kZ) так же является ее периодом.

Пример 4. y = sin x  Т = 2k (kZ).

Вопрос 4. Сложная и обратная функции Обратная функция

Пусть функция y = f(x) определена на множестве Х и имеет множество значений У.

О.4.1.Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения У и множеством значений Х. Такая функция называется обратной к функции y = f(x).

Про функции y = f(x) и говорят, что они являются взаимно обратными.

Если использовать стандартные обозначения, то обратную функцию можно записать в виде

.

Пример 5. Функции и являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций y = f(x) и симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Сложная функция (суперпозиция функций)

Пусть даны функции:

1) с областью определения U и множеством значений У;

2) с областью определения Х и множеством значений , причем .

О.4.2. Функция , заданная на множестве Х, называется сложной функцией от х или суперпозицией функций и . Переменная называется промежуточным аргументом сложной функции.

Пример 6.  и .

Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Вопрос 5. Основные элементарные функции

Наиболее простые приложения математического анализа ограничиваются кругом так называемых элементарных функций.

Основные элементарные функции

1. Степенная функция: .

2. Показательная функция: .

3. Логарифмическая функция: .

4. Тригонометрические функции: .

5. Обратные тригонометрические функции: .

О.5.1.Элементарной функцией называется функция, которая получается из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление) и суперпозиций.

Пример 7.

1. - элементарная функция.

2. - неэлементарная функция.

5