Вопрос 1. Основные подмножества (промежутки) расширенной числовой прямой

В математическом анализе мы будем работать с переменными величинами. Переменная величина считается заданной, если известно множество всех значений, которые она принимает.

О.1.1. Множество действительных чисел R, дополненное элементами и , исходя из условия, что для : , называется расширенным множеством действительных чисел или расширенной числовой прямой. Обозначение: .

Символы и - не числа: это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой прямой от начала О.

Основные подмножества (промежутки) расширенной числовой прямой

Пусть , и .

1. Отрезок (сегмент, замкнутый интервал): .

2. Интервал (открытый интервал): .

3. Полуинтервалы: ; .

4. Бесконечные полуинтервалы: ; .

5. Бесконечные интервалы: ; ;

.

Окрестность точки

Пусть - любая точка на числовой прямой.

О.1.2. Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку . В частности, для любого интервал называется -окрестностью точки . Число называется центром, а число - радиусом окрестности.

Обозначение: - -окрестность точки ; - окрестность точки .

Таким образом, .

О.2.5. -окрестность точки называется проколотой, если она не содержит саму точку .

Обозначение: .

Таким образом, = .

Вопрос 2. Понятие функции, способы задания функций

Пусть даны два числовых множества Х и У.

О.2.1.Если каждому элементу xX по некоторому закону f ставится в соответствие единственный элемент yY, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f(x), принимающая значения во множестве У.

В равенстве y = f(x): x - независимая переменная или аргумент, y - зависимая переменная или функция.

Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

О.2.2. Множество всех значений независимой переменной х, т.е. множество Х, для которых определена функция y = f(x), называется областью определения или областью существования функции. Обозначение: D(f), D(y).

О.2.3. Множество всех значений, которые принимает функция y = f(x) при x D(y), называется областью значений функции.

Обозначение: E(f), E(y).

Пример 1. y = sin x  D(y) = R, E(y) = [1; 1].

О.2.4. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют равенству y = f(x).

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Способы задания функции

1. Аналитический (функция задается в виде одной или нескольких формул).

Пример 2. 1) у = х³; 2)

2. Графический (функция задается посредством графика).

Этот способ обычно употребляется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографа, сейсмографа и т.п.).

3. Табличный (функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции).

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

4. Алгоритмический (функция задается в виде алгоритма).