4. Методические указания по выполнению контрольных работ Примеры решения задач
ПРИМЕР №1
Даны
два множества А=
и
B=
.Найти
следующие множества: а) А
.
Решение.
Множества
A
и B
– конечные и легко перечислить их
элементы: A=
B=
.
Так как объединению множеств A
и B
принадлежат элементы, входящие в A
или B,
при этом одинаковые элементы зачисляются
только один раз, то A
.По
определению в множество A\B
должны входить те элементы множества
A
,которые не принадлежат множеству B
. Поэтому A\B=
.
Аналогично, множество B\A=
.
Пересечению множеств принадлежат
элементы, входящие одновременно в
множество A
и в множество B.
Следовательно, A
.
Пример№2
.Даны
множества на числовой прямой A=
;
B=
;
C=
.
Найти следующие множества:
А
и изобразить их на
числовой оси.
Решение.
Множество
A
состоит
из точек числовой прямой ,которые
принадлежат либо множеству A
,либо множеству C:
A
.
Множество
A
состоит из точек числовой прямой, которые
принадлежат одновременно и множеству
A
и множеству B.
A
.
Множество
A
состоит из точек числовой прямой, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств
A,
B
или C.
A
.
Множество
(A
состоит из точек числовой прямой, которые
принадлежат одновременно множеству A
и множеству C.
Построим множество A
:
A
Построим
здесь же множество (A
Множество
B
состоит из точек числовой прямой, которые
принадлежат одновременно и множеству
B
и множеству C.
B
=
Ø так как у этих множеств нет общих
точек.
Пример № 3 . Найти производные функций
а)
.
Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:
.
б)
;
.
Пример №4 .Выполнить часть общего исследования функций:
А)
Исследовать характер разрыва следующей
функции
Функция имеет разрыв в точке
,
где она не определена.
;
.
Односторонние пределы не существуют, следовательно, имеем разрыв второго рода. Через точку разрыва проходит вертикальная асимптота (рис. 2).
Рис 2. Рис 3.
Б)
Найти
экстремум функции
.
Найдем
производную функции. Она равна
.
Приравниваем производную к нулю
и находим критическую точку
.
Чтобы найти ординату этой точки, подставим
в данную функцию
и запишем вершину параболы C(1;
4). Ось симметрии проходит через C
параллельно оси
(рис. 3). Пересечение параболы с осью
:
;
,
т.е. A(0;
5). Симметричная ей точка A1(2;
5).
В)
Найти точки экстремума и интервалы
монотонности функции
.
Находим первую производную:
и
приравниваем ее к нулю
.
Так как
,
то
и
.
Критическая точка
делит
на два интервала монотонности,
при переходе через точку
меняет знак с
на
.
Следовательно,
- точка минимума.
Пример № 5. Найти неопределенные интегралы:
а)
.
б)
.
Здесь
сделана замена:
;
;
.
в)
.
Сделана
замена:
;
;
.
.5. ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Задание № 1 Даны
множества на числовой прямой А,В и С
Найти
множества
А
и изобразить
их на числовой оси.
Варианты:
1.
А=
, В=
, С=
2.
А=
, В=
,
С=
3.
А=
, В=
, С=
4.
А=
, В=
, С=
5.
А=
, В=
, С=
6.
А=
, В=
, С=
7.
А=
, В=
, С=
8.
А=
, В=
, С=
9.
А=
, В=
, С=
10.А=
, В=
, С=
Задание № 2. Найти производные функций:
1)
а)
;
б)
.
2)
а)
;
б)
.
3)
а)
;
б)
.
4)
а)
;
б)
.
5)
а)
;
б)
.
6)
а)
;
б)
.
7)
а)
;
б)
.
8)
а)
;
б)
.
9)
а)
;
б)
.
10)
а)
;
б)
.
Задание № 3. Выполнить исследование функции по следующей схеме:
1) найти область определения;
2) проверить четность, нечетность функции;
3) найти точки пересечения с осями координат;
4) найти экстремумы функции и интервалы монотонности;
5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;
6) построить график функции.
1)
.
6)
.
2)
.
7)
.
3)
.
8)
.
4)
.
9)
.
5)
.
10)
.
Задание № 4. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1а)
;
2а)
;
3а)
;
4а)
;
5а)
;
6а)
;
7а) ;
8а) ;
9а) ;
10а) .
Задание №5:
1. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.
В среднем на 50 исправных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
В мешке содержатся жетоны с номерами от 2 до 51 включительно. Какова вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом?
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.
На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании, 4 из Швеции. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что Восьмым будет выступать спортсмен из Испании?
В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете ученику встретиться вопрос по электростатике.