Глава 1

1. Системы счисления, используемые в информатике

Система счисления — это совокупность приемов и правил записи чисел с помощью цифр. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционной системе счисления каждый символ имеет свое определенное значение, которое не зависит от положения символа в записи числа. Например, в римской системе счисления

I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.

Число 77 записывается LXXVII.

В позиционной системе счисления значение любой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих данное число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Каждая позиционная система счисления имеет строго определенное количество символов (цифр) для обозначения любого числа:

– двоичная — 2: 0 и 1;

– десятичная — 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Количество цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется основанием системы счисления. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число.

Пусть q — основание системы, тогда любое число в системе счисления с основанием q можно представить в виде:

А_q = a_nqⁿ + a_n–1q^n–1 + ... + a₁q¹ + a₀q⁰ + a_–1q^–1 + a_–2q^–2 + ... + a_–kq^–k, (3)

где А_q — число, записанное в системе счисления с основанием q,

n - 1 — количество разрядов целой части числа,

а_i — цифры числа, причем 0  а_i < q,

k — количество разрядов в дробной части числа.

В информатике используются только позиционные системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2 + ... + a₁*q¹ + a₀*q⁰ + a_-1*q^-1 + ... + a_-m*q^-m,

где a_i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Таблица 1

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	10000	10