1.4. Виды функций

1.4.1. Числовая последовательность

Последовательность можно понимать как частный вид функций, а именно как функцию номера места члена последовательности . Обозначение числовой последовательности - или , где n – номер члена последовательности, a_n – общий член последовательности.

S_n – последовательность сумм. .

Примеры числовых последовательностей:

• ;

• ;

• и т.д.

Способ задания последовательности, при котором для вычисления n-го члена надо знать предыдущие, называется рекуррентным.

1.4.2. Основные элементарные функции

• Степенная: ;

• Рациональная (это комбинация степенных с коэффициентами): ;

• Показательная: ;

• Логарифмическая: ;

• Тригонометрические: ;

• Обратные тригонометрические:

1.4.3. Сложная функция

Это функция, аргументом которой тоже является функция.

Пусть u = g(x) – функция, определенная на множестве D(u) и со значениями E(u),

y = f(u) – функция, определенная на множестве E(u). Тогда каждому xD(u) можно поставить в соответствие: x ——^g—> g(x) ——^f—> f(g(x))

Тогда – сложная функция (или композиция функций f ○ g).

При этом u = g(x) – внутренняя функция, y = f(u) – внешняя функция.

Например: 1) y = (3x – 5)⁵ u = 3x – 5 – внутренняя, y = u⁵ – внешняя

2) y = cos(1 – x²) u = 1 – x² – внутренняя, y = cos u – внешняя.

1.4.4. Обратная функция

Чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой.

Функция y = f(x) с областью определения A и множеством значений B называется обратимой, если для любых x₁, x₂  A (x₁ ≠ x₂) выполняется условие f(x₁) ≠ f(x₂).

Примеры обратных функций:

1. Для функции - обратная функция;

2. Функция необратима на множестве ( - ∞; ∞), но обратима на множестве .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x (биссектрисы первой и третьей четвертей).

Композиция двух взаимно обратных функций всегда равна аргументу. Например:

Лекция 2. Свойства и графики элементарных функций

2.1. Степенная функция

Свойства функции и вид графика зависят от показателя степени n.. При этом графики всех степенных функций проходят через точку с координатами (1; 1).

Вид графика:

1. Натуральный показатель
Д ля четного показателя: функция Четная; Ограниченная снизу; имеет экстремум – минимум в точке x=0	Д ля нечетного показателя: функция Нечетная; Неограниченная; Монотонно возрастающая; экстремумов не имеет, x=0 – точка перегиба
2. Целый отрицательный показатель
Для четного показателя: функция четная; экстремумов не имеет; ограниченная снизу Ось Ox – горизонтальная асимптота; О сь Oy – вертикальная	Д ля нечетного показателя: функция – нечетная; неограниченная; монотонно убывающая; Ось Ox – горизонтальная асимптота; Ось Oy – вертикальная
3. Рациональный показатель (дробный)
Д ля положительного показателя: функция общего вида, монотонно возрастает, экстремумов и асимптот не имеет	Д ля отрицательного показателя: функция общего вида; монотонно убывает

2.2. Рациональная функция (частные случаи)

• Линейная функция. Общий вид . Графиком функции является прямая. Число k – угловой коэффициент . Если k>0 линейная функция возрастает, k<0 - убывает, k=0 – прямая параллельна оси абсцисс (в этом случае имеем частный случай – постоянную функцию, которая в общем виде задается уравнением y = C).

• Квадратичная функция. Общий вид . Графиком функции является парабола. Число – старший коэффициент. Отвечает за направление ветвей параболы; при a>0 – ветви вверх, при a<0 – ветви вниз. Коэффициент b отвечает за вершину параболы; координаты вершины: ; прямая - ось симметрии параболы. Нули функции – это корни квадратного уравнения .

На самом деле график любой квадратичной функции можно получить из графика функции путем преобразования.

Например: ;

Графиком функции является парабола, ветви вверх, вершина (2,5; -0,25), ось симметрии , нули функции .