1.2. Метод Крамера
Теорема. Если
определитель системы ∆ =
≠ 0, то система имеет единственное
решение (x,
y
, z),
определяемое формулами Крамера:
,
где
Эти определители получаются заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.
1.3. Практическая работа № 3 «Решение слу методом Крамера»
Пример. Решить
систему уравнений:
1) Составляем и
вычисляем определитель системы
∆ = 2·(-10) + 4·4 + (-1)·(-11) = -20 + 16 + 11 = 7
2) Считаем ∆x
=
∆x = 3·(-10) + 4·8 + (-1)·23 = -30 + 32 – 23 = -21
3) Считаем
∆y = 2·(-8) + 3·4 + (-1)·(-18) = -16 + 12 + 18 = 14
4) Считаем
∆z = 2·(-23) + 4·18 + 3·(-11) = -46 + 72 – 33 = -7
6) По формулам
Крамера решение системы:
Ответ: (-3; 2; -1)
Лекция 2. Матричный метод и метод Гаусса
2.1. Матричный метод решения слу
Рассматриваем
систему уравнений (1).
Для нее
Здесь: A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных, B – столбец свободных членов.
Теорема. Если определитель матрицы A отличен от нуля (∆(А) ≠ 0), то система (1) имеет единственное решение, определяемое равенством X = A – 1 · B, где A – 1 – обратная матрица.
Пример: решаем ту же систему уравнений, которую решали методом Крамера
1) Составляем
матрицы A
и B:
2) Ищем алгебраические дополнения для составления обратной матрицы:
3) Определитель: ∆(А) = 7 (см. метод Крамера)
4) Тогда решение
системы:
т.е.
Ответ:
(-3; 2; -1)
2.2. Метод Гаусса
Изложенные выше методы имеют недостатки. Главный из них – это отличие определителя системы от нуля (∆(А) ≠ 0).
Метод Гаусса основан на элементарных алгебраических преобразованиях матриц, при которых получаются эквивалентные матрицы. Эквивалентными называются матрицы, имеющие равносильную систему уравнений.
Цель: путем умножения какой-либо строки на число и сложения с другой строкой добиться нулевых коэффициентов при двух переменных. Дальше решение сводится к нахождению второй и третьей переменной путем обычной подстановки.
Расширенная
матрица:
Переход от
одной расширенной матрице к другой
будем обозначать знаком ~ или <=>.
Например, запись 2C2+C1 <=> … означает: строку №2 умножаем на 2 и складываем со строкой №1.
На деле приводим исходную матрицу к треугольному виду. Если при переходе матрицы A к треугольной в новой матрице не возникло ни одной нулевой строки (столбца), то исходная система имеет единственное решение.
Пример: решаем ту же систему уравнений, которую решали методами 1 и 2
Составляем расширенную матрицу системы и преобразовываем:
Тогда:
Ответ: (-3; 2; -1)
Домашнее задание № 3 «Системы линейных уравнений»
Решить системы уравнений методом Крамера:
Ответы: 1) (1; 2; 3), 2) (2; -1; 1), 3) (1; 2; 4), 4) (1; 1; 1), 5) (2; -1; 3), 6) (3; 1; 1), 7) (1; 1; 1),
8) (1; -1; 1), 9) (3; 1; 2), 10) (1; -2; 1)
Лекция 3. Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач
Пример
Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:
Тип заготовки |
Способ раскроя |
||
1 |
2 |
3 |
|
А |
3 |
2 |
1 |
Б |
1 |
6 |
2 |
В |
4 |
1 |
5 |
Задание. 1) Записать в математической форме условия выполнения задания; 2) Найти решение задачи, при котором расход материала и отходы окажутся минимальными.
Решение. 1) Обозначим через x, y и z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - 1z. Для выполнения задания по заготовкам «А» сумма 3x+2y+x должна равняться 360.
Аналогично
получаем уравнение для заготовок «Б»
и «В»:
.
В итоге получаем
систему линейных уравнений
,
которая выражает в математической форме
условия выполнения всего задания по
заготовкам «А», «Б», «В».
2
)
Решаем полученную систему методом
Гаусса. Составляем расширенную матрицу
и элементарными преобразованиями
приводим ее к треугольному виду:
Тогда исходная
система равносильна следующей:
Ответ: Необходимо 90 листов – на раскрой первым способом, 15 листов – вторым, 60 листов – третьим.