2.2. Свойства определителей

Изложенные ниже свойства справедливы для любого n порядка. Свойства приводятся без доказательств.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. ;

2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак;

3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю;

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

5. Если в определителе две строки (два столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю;

6. ;

7. Определитель не поменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;

8. Сумма произведений элементов любой строки на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю;

9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

2.3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу . Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n.

Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Ранг матрицы А обозначается через r (A).

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Очевидно, что выполняется соотношение

Например, для матрицы ранг матрицы равен 2 (количество строк).

Лекция 3. Обратная матрица

3.1. Обратная матрица

Определение. Матрица A ^{– 1} называется обратной к квадратной матрице A, если

A · A ^{– 1} = A ^-1 · A = E

Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. чтобы ∆(А) ≠ 0

Тогда:

Пример: . Найти A^-1 и сделать проверку.

1) Алгебраические дополнения:

2) Определитель матрицы A: ;

3) Обратная матрица: ;

4) Проверка:

- значит, обратная матрица найдена верно.

3.2. Практическая работа № 2 «Матрицы и определители»

1. Найти обратную матрицу и сделать проверку: ;

2. Доказать, что :

Домашнее задание № 2 «Матрицы и определители»

1. Вычислить определитель:

Ответы: 1) -35 2) -24 3) 12 4) -30

2. Найти обратную матрицу и сделать проверку:

Тема 2.2. Системы линейных алгебраических уравнений

Лекция 1. Решение СЛУ методом Крамера

1.1. Общий вид СЛУ. В общем виде система линейных уравнений выглядит так:

Число уравнений m может совпадать, а может и не совпадать с числом неизвестных n. Мы будем изучать лишь случай, когда m = n и для n = 3.

Рассматриваем систему 3-го порядка, т.е. систему (1)

Неизвестные (переменные) – x, y, z. Решением системы с тремя переменными является упорядоченная тройка чисел (x, y, z).

Числа в правой части – свободные члены системы (b₁, b₂, b₃).