1.3. Операции над матрицами

• Сумма двух матриц одного размера: ;

• Умножение матрицы на число: ;

• Умножение матриц. Произведение двух матриц A и B существует, если количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы В. Тогда для матриц

A · B = D, D = (d _{i k}) _{m n}

Чаще всего, произведение A · B ≠ В · А или одно из них не существует.

Например, нахождение произведения для матриц 2-го порядка:

, ;

Свойства матриц одинакового размера

1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = A

4) λ (μ A) = ( λ μ) A 5) λ ( A + B) = λ A + λ B 6) ( λ + μ) A = λ A + μ A

1.4. Решение примеров

Пример 1. Даны матрицы: и . Найти:

;

· =

Пример 2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М₂ - 70, а в М₃ - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин
	М1	М2	М3
1	20	35	10
2	15	27	8

Решение. Пусть A – матрица, данная в условии, B – матрица, характеризующая стоимость доставки:

Тогда матрица затрат транспортных расходов:

Ответ: транспортные расходы: 1 завод – 4750 ден.ед., 2 завод – 3680 ден.ед

Разумеется, данные вычисления не требовали обязательного применения средств линейной алгебры. Пример приведен как образец применения методов линейной алгебры к решению экономических задач.

Лекция 2. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей

Мы будем рассматривать только определители 2-го и 3-го порядков. Поэтому полное определение определителя (детерминанта) n-го порядка не дается. Допустимые обозначение определителя матрицы A: Δ(A) или det A или |A|. Мы будем использовать Δ(A) или просто Δ для сокращения записи.

2.1. Определители 2-го и 3-го порядков

1) Для матрицы второго порядка

Определение 1. Определителем 2-го порядка называется число

Пример:

2) Для матрицы третьего порядка A = введем новые понятия.

Определение 2. Минором элемента называется определитель , составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы A i –той строки и k-того столбца.

Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента называется число

Определение 4. Определителем 3-го порядка называется сумма произведений первой строки на их алгебраические дополнения.

Пример: вычислить определитель матрицы A =

1) Миноры: M₁₁ = = 7 M₁₂ = = 35 M₁₃ = = -7

2) Алгебраические дополнения:

В дальнейшем будем считать сразу:

3) Определитель: ∆(A) = 3·7 + (-2)·(-35) + 4·(-7) = 21 + 70 – 28 = 63