3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

• Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:

• Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;

• Деление -

• Возведение в степень – для правило:

- формула Муавра (английский математик, француз по происхождению);

• Извлечение корня n- й степени.

Определение. Корнем n-й степени из числа z называется комплексное число u, для которого , тогда .

Теорема. Для любого комплексного числаz, отличного от нуля извлечение корня n- й степени всегда возможно и имеет n различных решений.

Пусть , искомый корень , тогда , т.е.

Заключение

Помимо рассмотренных операций возможно дифференцирование комплексных чисел, составление комплексных матриц и другое.

Помимо рассмотренных комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической форме существуют комплексные числа в показательной форме, которые применяются в электротехнике при расчете электрических цепей.

Домашнее задание № 1 «Действия с комплексными числами»

1. Вычислить: ;

2. Найти: , если ;

3. Вычислить: ;

4. Найти: а) число , если ; б) число ;

5. Решить уравнение: а) ; б) ;

6. Найти алгебраическую форму комплексного числа ;

7. Изобразить на комплексной плоскости и найти тригонометрическую форму чисел ;

8. Найти модуль и аргумент комплексного числа

Раздел 2. Элементы линейной алгебры

«Линейная алгебра – один из важнейших разделов современной математики. Основные понятия этой математической дисциплины находят применение, как в различных теоретических исследованиях, так и для решения многих практических задач. В последнее время линейную алгебру стали широко применять в экономике, она является теоретической базой линейного программирования – одного из разделов математического программирования, который используется для решения целого ряда экономических задач».

Тема 2.1. Матрицы и определители

Лекция 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами

1.1. Понятие матрицы

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел:

– элемент матрицы, где i – № строки, k - № столбца

Элементы – главная диагональ матрицы. Краткая запись матрицы: .

1.2. Виды матриц

• Квадратная матрица – матрица размера n x n.

• Треугольная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю

• Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

• Транспонированная матрица - матрица A^Т, строки которой – столбцы матрицы A (A → A ^Т),

• Диагональная матрица – матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю.

• Единичная матрица – матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны нулю, (обозначается Е),

• Матрица A равна матрице B, если равны все их элементы: a _{i k} = b _{i k} для любого i = 1…m, для любого k = 1… n.