3.3. Логические операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения и и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказыва­ний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).

Определение 4. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)&Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Очевидно, что  областью истинности предиката Р(х)&Q(х) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов   Р(х):  «х – четное число» и   Q(х):  « х кратно 3» конъюнкцией Р(х)&Q(х) является предикат «х – четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6».

Определение 5. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значе­ниях ,  при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «исти­на» во всех остальных случаях. Ясно, что областью истинности предиката  является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), то есть объединение  .

Определение 6. Отрицанием предиката Р(х) назы­вается новый предикат , который принимает значе­ние «истина» при всех значениях , при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях , при кото­рых предикат Р(х) принимает значение «истина». Очевидно, что, .

Определение 7. Импликацией  предикатов  Р(х) и Q(х) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(х) – значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что при выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильности алгеб­ры логики. Для детального изучения темы необходим курс «Дискретной математики».

Цепочка эквивалентных бесконечно малых

α(x) ~ sinα(x) ~ tgα(x) ~ arcsin α(x) ~ arctg α(x) ~ ln(1+α(x)) ~ e ^α(x) – 1

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Следствия:

Второй замечательный предел:

Таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования

Функция	Производная
1) Постоянная: C
2) Степенная: xn
Частные случаи:
3) Показательная:
4) Логарифмическая: (x > 0)
Натуральный логарифм: (x > 0)
5) Тригонометрические:
Обратные тригонометрические:

Таблица основных интегралов

1.	13.
2.	14.
3 .	15.
4.	16.
5.	17.
6.	18.
7.	19.
8.	20.
9.	21.
10.
11.	22. Для сложной функции:
12.

Таблица факториалов

Треугольник Паскаля

n	Значения
0											1
1										1		1
2									1		2		1
3								1		3		3		1
4							1		4		6		4		1
5						1		5		10		10		5		1
6					1		6		15		20		15		6		1
7				1		7		21		35		35		21		7		1
8			1																1
9		1																		1

76