Задание для самостоятельной работы

Докажите при помощи таблиц истинности справедливость следующих «классических» тождественно истинных формул логики высказываний:

1. Закон тождества: «Всякое высказывание является логическим следствием самого себя» ;

2. Закон противоречия: «Для всякого высказывания неверно, что истинно и само высказывание и его отрицание» ;

3. Закон исключенного третьего: «Для каждого высказывания истинно или само высказывание или его отрицание» ;

4. Закон двойного отрицания: «Отрицание от отрицания равносильно самому высказыванию» ;

5. Добавление антецедента: «Истина из чего угодно (verum ex quodlibet)» ;

6. Ex falso quodlibet: «Из ложного что угодно»

2.3. Логические схемы

Логические схемы – это физические устройства, реализующие функции математической логики. Логические схемы являются основой любых систем обработки дискретной информации.

К основным логическим схемам относятся:

• Схема «НЕ» - инвертор. Реализует операцию отрицания;

• Схема «ИЛИ». Реализует дизъюнкцию двух и более логических значений;

• Схема «И». Реализует конъюнкцию двух и более логических значений;

• Схема «ИЛИ – НЕ». Состоит из элемента «ИЛИ» и инвертора;

• Схема «И – НЕ». Состоит из элемента «И» и инвертора.

Условные обозначения логических схем:

Сигнал на выходе из логической схемы зависит от реализуемой операции и значений подаваемых на вход сигналов. Работа логических схем также описывается при помощи таблиц истинности. Как правило, в качестве подаваемых сигналов используется уровень напряжения, который для значения «0» составляет 0 Вольт, а для значения «1» - 5 Вольт.

Лекция 3. Логика предикатов. Логические операции над предикатами

Статья «Логика-predikatov.ru/logik/»

3.1. Понятие предиката

«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математи­ческих рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

3.2. Логика предикатов

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, а предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Логи­ка предикатов – это расширение логики высказываний за счет использова­ния предикатов в роли логических функций.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например, х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Определение 1. Одноместным предикатом Р(х) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент x пробегает значения из некоторого мно­жества M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.

Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.

Множество , на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р(х).

Например, предикат P(x) - « x- простое число» определен на множестве натуральных чисел, а множество I_P – это множество всех простых чисел.

О пределение 2. Предикат Р(х), определённый на множестве M, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если

Определение 3. Двухместным предикатом P(x, у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М=М₁×М₂ и принимающая значения из множества {1,0}.

В качестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q(x, у) – «х = у» предикат равенства, определённый на множестве R²=R×R; F(x, у) – «х || у» прямая х параллельна прямой у, определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Говорят, что предикат Р(х) является следствием предиката Q(х) , если ; и предикаты Р(х) и Q (х) равносильны , если .

Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности:

1. х + 5 = 1

2. при х = 2 выполняется равенство х² – 1 = 0

3. х² – 2х + 1 = 0

4. существует такое число х, что х³ – 2х + 1 = 0

5. х + 2 < Зх – 4

6. однозначное неотрицательное число х кратно 3

7. (х + 2) – (3х – 4)

Решение. 1) Предложение является одноместным предикатом Р(х), I_P = {– 4}; 2) предложение не является предикатом. Это ложное высказывание; 3) предложение является одноместным предикатом Р(х), I_P = {1}; 4) предложение не является предикатом. Это истинное высказывание; 5) предложение   является одноместным предикатом Р(х), I_P = (3; +∞); 6) предложение   является одноместным предикатом Р(х), I_P = {0; 3; 6; 9}; 7) предложение не является предикатом;

П ример 2. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката .

Решение.  Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенную между ветвями параболы , она изображена серой частью рисунка: