2.1. Логические формулы

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить его логической формулой.

A	B		C
0	0	0
0	1	0	0	1
1	0	0	1	1
1	1	1	0	0
		1	1	1

Например: «Если я подготовлю и сделаю грамотный доклад по математической статистике, то улучшу оценку по математике». Здесь высказывание A: «Я подготовлю доклад», B: «Я сделаю доклад», C: «Улучшу оценку». В результате получим формулу: . Составим таблицу истинности:

Анализ формулы показывает, что она принимает и значения «1» (истинна) и значения «0» (ложна).

Такие формулы называются выполнимыми.

Формулы, которые принимают значение «1» при любых значениях истинности переменных называются тождественно истинными или тавтологиями. Например .

Формулы, которые принимают значение «0» при любых значениях истинности переменных называются тождественно ложными или противоречиями. Например .

Задание. Определить вид логической формулы:

1) . Упростим формулу, учитывая, что последовательность выполнения операций такая же, как в алгебре, и сначала выполняются действия в скобках.

, т.к. последняя операция – это дизъюнкция «1 или …»; в любом случае получим «1». Тогда, вывод: тождественно истинная формула.

a	b
0	0	1	1	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0

2) . Составим таблицу истинности, перебирая все возможные сочетания значений истинности переменных.

Вывод: тождественно ложная формула

3) Самостоятельно:

2.2. Логические функции

Всякую формулу логики высказываний можно рассматривать как представление некоторой функции. Например, формула выражает функцию от переменных a, b, c. По аналогии с функцией элементарной алгебры .

Разница в том, что, если в элементарной алгебре рассматриваются числовые функции (т.е. и переменные и функция принимают числовые значения), то в логике высказываний рассматриваются так называемые логические (булевы) функции, в которых как каждая переменная, так и сама функция принимают только одно из двух значений: «1», т.е. истинно или «0», т.е. ложно. Переменные, принимающие только значения «И» или «Л» называют булевыми переменными.

При этом логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция) аналогичны алгебраическим операциям сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и т.д.

Для действий с логическими переменными введение пяти операций избыточно, т.к. некоторые из них равносильно ( ) выражаются через другие. В действительности достаточно логических операций отрицания, сложения и умножения. Формулы, содержащие только знаки этих операций – булевы формулы, на которых основана алгебра Буля.

Основные законы булевой алгебры:

1. Коммутативные: ;

2. Ассоциативные: ;

3. Законы идемпотентности: ;

4. Дистрибутивные законы: ;

5. Законы де Моргана: ;

6. Закон двойного отрицания: .