1.3. Логические операции

1.3.1. Простейшая операция: Отрицание - операция выражается связкой «НЕ» и обозначается: . Читается: «не А».

Логические операции описываются таблицей истинности. В данном случае эта таблица имеет вид:

A
0	1
1	0

Если А истинно, то не А ложно, и наоборот.

Пример.

A: «Луна – спутник Земли»; тогда : «Луна - не является спутником Земли».

Таблица истинности для конъюнкции
A	B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1.3.2. Конъюнкция – операция выражается связкой «И». Это соединение или логическое умножение. Для конъюнкции нужны два высказывания (A, B). Обозначается: . Читается «A и B» (конъюнкция A и B)

Конъюнкция A и B истинна тогда и только тогда, когда истинны A и B.

Таблица истинности для дизъюнкции
A	B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

1.3.3. Дизъюнкция – операция выражается связкой «ИЛИ». Это разделение или логическое сложение. Для высказываний A, B обозначается: . Читается «A или B» (дизъюнкция A и B).

Дизъюнкция A и B ложна тогда и только тогда, когда ложны A и B.

1.3.4. Импликация – операция, выражающаяся связками «Если …, то …», «Из … следует …». Обозначается: . Читается «Из A следует B», «A имплицирует B».

Таблица истинности для импликации
A	B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Следствие или консекве́нт (лат. consequent — «следствие», «вывод», «результат») — на языке старых философов, особенно у логиков Кантовской школы, в их учении о суждениях, заключениях и доказательствах консеквент означает в его отношении к сказуемому следствие в отношении к причине.

В импликации «Если А, то В» высказывание «А» есть антецедент; высказывание «В» называется консеквентом. Например, в условном высказывании «Если сейчас ночь, то темно»: антецедент — «сейчас ночь», а консеквент — «темно».

Импликация A и B ложна тогда и только тогда, когда A истинно, а B – ложно. Т.е. из верной предпосылки сделан неверный вывод.

Пример. Имеем высказывание A: «5 больше 2» и высказывание B: «5 – нечетное число». Тогда : «5 не больше двух» и : «5 – не нечетное число».

Импликации: - истинна, - истинна, - истинна, - ложна.

На деле оказывается, что импликация A B равносильна операции «B или не A»:

Таблица истинности для эквиваленции
A	B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1.3.5. Эквиваленция (двойная импликация) – операция выражается связкой «Тогда и только тогда», «Необходимо и достаточно», «Равносильно». Обозначается . Читается: «Эквиваленция A и B».

Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают.

Высказывания при этом могут быть совсем не связаны по содержанию.

Пример. Составить таблицу истинности для выражения :

A		B
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	1	1

По результату можно сделать вывод, что приведенное выражение – то же самое, что эквиваленция, т.е. Задание: докажите равенство:

Лекция 2. Логические формулы и логические функции. Составление таблиц истинности. Логические схемы