Раздел 6. Основы дискретной математики

Лекция 1. Введение. Алгебра логики. Логические операции и логические функции

1.1. Введение. Предмет дискретной математики

«Всю математику можно поделить на две большие части: континуальную и дискретную математику. К континуальной математике относится все, что содержит идеи теории пределов и непрерывности. Дискретная математика – область математике, изучающая дискретные математические объекты и структуры.

Непрерывность и однородность пространства – это предпосылки возникновения континуальных разделов математики; разрывность и неоднородность – дискретных разделов. При этом деление математики на континуальную и дискретную весьма условно, ибо единство мира, тесная связь его непрерывных и дискретных свойств являются основанием единства математики.

Примеры дискретных математических объектов:

• Натуральный ряд чисел;

• Конечное множество элементов произвольной природы;

• Функция (как отображение) из конечного множества в конечное множество;

• Слово как последовательность символов;

• Формальный язык (множество слов) в конечном алфавите и другие.

Дискретные системы с древнейших времен применяются в вычислительной практике. Широко известны изобретенные в древности различные системы представления чисел и связанные с ними алгоритмы выполнения арифметических операций, решения уравнений и т.п. Также повсеместно распространены изобретенные дискретные вычислительные приспособления.

В широком смысле дискретная математика включает в себя давно сложившиеся разделы:

1. Теория чисел;

2. Алгебра;

3. Теория множеств;

4. Математическая логика.

В узком (профессиональном) смысле дискретная математика состоит из ряда специальных разделов и сравнительно новых разделов, которые стали интенсивно развиваться в связи с изобретением и постепенным внедрением во все сферы жизни ЭВМ и цифровых технологий. К последним относятся:

• Теория графов и сетей;

• Теория алгоритмов;

• Комбинаторный анализ;

• Теория кодирования;

• Теория функциональных систем и другие.

Большое значение для осознания роли дискретной математики в науке XX века имело возникновение и распространение в современном естествознании таких разделов физики как «Атомно-молекулярная теория», «Квантовая и статистическая физика».

Бурное развитие дискретной математики во второй половине XX-го века связывают с «цифровой революцией» в телекоммуникационной и вычислительной технике.

В XXI веке роль и место дискретной математики определяются тремя основными факторами:

1. Дискретную математику можно рассматривать как теоретическую основу компьютерной математики;

2. Модели и методы дискретной математики являются хорошим средством и языком для построения и анализа моделей в различных науках, включая химию, биологию, генетику, физику, психологию, социологию, экологию и др.;

3. Язык дискретной математики чрезвычайно удобен и стал фактически метаязыком всей современной математики.

1.2. Алгебра логики

Создателем алгебры логики (или математической логики) считается английский математик XIX века Джордж Буль, поэтому этот раздел математики носит название булева алгебра.

Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Например: высказывание « 12 – четное число» - истинно, а высказывание «12 не делится на 2» - ложно.

Логика высказываний лежит в основе всех других разделов математической логики и необходима для их понимания. Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Например, такие фразы: «Сегодня хорошая погода», «Автобус часто опаздывает» и т.п. – это просто высказывательная форма.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения: истинно оно или ложно. При этом не учитываются такие понятия как новизна, интересность и т.п.

Из заданных элементарных логических высказываний при помощи логических связок можно строить новые высказывания. Логические связки создаются при помощи слов и сочетаний: «НЕ», «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ …, ТО…», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА». Высказывания, образованные при помощи логических связок называются составные.

Для упрощения записи логические высказывания обозначают буквами латинского алфавита: A, B, a, b… и т.д.

Истинному высказыванию присваивается значение «1», ложному – «0».