В озведение в степень:
Правила
2.2. Практическая работа № 1 «Действия с комплексными числами в алгебраической форме»
Посчитаем степени числа :
Вычислить:
2.1)
;
2.2)
;
2.3)
;
2.4)
;
2.5)
;
Найти решение уравнения:
Решение:
Вычислить:
4.1)
4.2)
4.3)
4.4)
4.5)
5) Вычислить:
а) число
,
если
;
б) число
Решение:
а)
б)
Лекция 3. Тригонометрическая форма комплексного числа
3.1. Полярные координаты
На плоскости часто
применяется полярная
система координат.
Она определена, если задана точка O,
называемая полюсом,
и исходящий из полюса луч (для нас это
ось Ox)
– полярная ось.
Положение точки M
фиксируется двумя числами: радиусом
(или радиус-вектором)
и
углом φ между полярной осью и вектором
.
Угол φ
называется полярным
углом; измеряется в радианах и отсчитывается
от полярной оси против часовой стрелки.
Положение точки
в полярной системе координат задается
упорядоченной парой чисел (r;
φ). У полюса
r
= 0, а φ не
определено. Для всех остальных точек
r
> 0, а φ
определено с точностью до слагаемого
кратного 2π. При этом парам чисел (r;
φ)
и (r1;
φ1)
сопоставляется одна и та же точка, если
.
Для прямоугольной
системы координат xOy
декартовы координаты точки легко
выражаются через ее полярные координаты
следующим образом:
3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Рассмотрим на
плоскости декартову прямоугольную
систему координат xOy.
Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.
Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.
На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y).
Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:
3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексное число
на плоскости имеет координаты точки M
(x;
y).
При этом:
Тогда:
.
Запись комплексного
числа
- тригонометрическая
форма комплексного числа.
Число r
называется модулем
комплексного
числа z
и обозначается
.
Модуль – неотрицательное вещественное
число. Для
.
Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0.
Число φ называется
аргументом
z
и
обозначается
.
Аргумент z
определен неоднозначно, как и полярный
угол в полярной системе координат, а
именно с точностью до слагаемого кратного
2π.
Тогда принимаем:
,
где φ – наименьшее значение аргумента.
Очевидно, что
.
При более глубоком
изучении темы вводится вспомогательный
аргумент φ*, такой, что
Пример 1.
Найти тригонометрическую форму
комплексного числа
.
Решение. 1) считаем
модуль:
;
2) ищем φ:
;
3) тригонометрическая
форма:
Пример 2. Найти
алгебраическую форму комплексного
числа
.
Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:
П
ример
3. Найти
модуль и аргумент комплексного числа
;
1)
;
2)
;
φ – в 4 четверти:
