Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 5.1. Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей

Лекция 1. Основные понятия комбинаторики. Событие. Вероятность события

1.1. Основные понятия комбинаторики

Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Это множество будем называть генеральной совокупностью.

• Размещением из n элементов по k называется любой упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Если выбор элементов множества происходит с возвращением, то число размещений из n по k находится по формуле: n^k - размещения с повторениями.

Если же выбор делается без возвращения, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством где - n – факториал.

• Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Число всех перестановок из n элементов равно: .

• Сочетанием из n элементов по k называется любой неупорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k равно:

При этом справедливы равенства:

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

• Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

• Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами

Пример 1. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?

Решение. В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5: вариантов. Пример 2. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. 1. Сначала выбираем математиков. Это можно сделать способами.

2. Теперь выбираем экономистов: способов.

3. По правилу произведения общее количество способов: 3 * 210 = 630

1.2. Событие

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

1.3. Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей:

Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. 1. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов:

2. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно: Тогда, искомая вероятность:

Лекция 2. Сложение и умножение вероятностей. Схема независимых испытаний