Задание для самостоятельной работы

Вычислить объемы тел, полученных вращением фигур, ограниченных линиями:

вокруг Ox;

вокруг Oy;

вокруг Ox;

вокруг Oy;

вокруг Ox;

Ответы: (ед³)

Лекция 5. Дифференциальное и интегральное исчисление в прикладных задачах

5.1. Физические задачи

Если , тогда, если задана формула изменения скорости (ускорения), путь, пройденный телом (скорость) за время : .

Задача 1. Тело ускоренно движется по закону . Найти:

1. Начальную скорость движения;

2. Среднюю скорость за время от 2 с до 4 с;

3. Путь, пройденный телом от начала движения до полной остановки, и ускорение в этот момент.

Решение. 1)

2) ;

3) Тело остановилось – значит, скорость в этот момент времени равна нулю:

Ответ: 1) 6 м/с, 2) 11 м/с, 3) 57 м, -7 м/с² (отрицательное ускорение подсказывает, что движение было ускоренно-замедленным).

Задача 2. Скорость тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону: [м/с]. Найти путь, пройденный телом за время от 3-й до 5-й секунды.

Решение:

Ответ: 94 м.

5.2. Производная и интеграл в экономике

«В экономических исследованиях используется специфическая терминология. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками.

Большей частью плановые расчеты основываются на статистических данных и ведутся в форме суммарных показателей. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений (предельный анализ).

Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.

Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически v = f(x), то средняя величина – это отношение v/x, а предельная – производная .

• Нахождение производительности труда( z). Пусть функция u = u(t) выражает зависимость количества произведенной продукции u за время работы t . Тогда за время dt = Δt = t₁ – t₀ количество продукции - .

Средняя производительность , производительность труда в момент времени t₀ – предел этого отношения, т.е. .

• Издержки производства есть функция количества продукции: , где x – количество продукции. Тогда - предельные издержки производства.

• Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то  и называется предельной выручкой.

• Эластичность функции. Для заданной функции

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Очевидно, что при задании желаемых результатов (т.е. предельных значений), поиск зависимостей приводит к интегральному исчислению».