1.2. Геометрический смысл определенного интеграла
Если интегрируемая
функция
,
то определенный интеграл
численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной
графиком функции y
= f(x),
осью абсцисс и прямыми x=a
и x=b,
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. При этом:
если f(x) ≤ 0 на [a, b], то
если a > b, то
если a = b , то
1.3. Свойства определенного интеграла
1) Постоянный
множитель можно выносить за знак
интеграла:
;
2) О.И. от алгебраической
суммы двух непрерывных функций равен
алгебраической сумме их интегралов:
;
3) Если
,
то:
4
)
Если f(x)
≥ 0 на [a,
b],
то
;
5)
;
6) Если f(x)
≥ g(x)
для любого x
из [a,
b],
то
Площадь фигуры,
заключенной между графиками:
(Из функции, график которой лежит выше, вычитается функция, график которой лежит ниже);
7) Теорема о среднем.
Если функция f(x)
непрерывна на [a,
b],
то существует такая точка с из [a,
b],
что:
Т.е. площадь криволинейной трапеции
может быть найдена как площадь
прямоугольника.
Лекция 2. Вычисление определенного интеграла
2.1. Формула Ньютона – Лейбница
Вычислять О.И. удобнее и легче по формуле. Для вывода формулы нужно вводить понятие интеграла с переменным верхним пределом, что не входит в данный курс, поэтому без вывода:
Здесь: F(x) – одна первообразных функции f(x), (при C = 0)
F(b) и F(a) – значения первообразной соответственно в точках a и b.
Алгоритм вычисления О.И. – 1) для заданной функции найти первообразную; 2) подставив в нее последовательно сначала верхний, потом нижний пределы, сосчитать F(b) – F(a).
Пример:
При вычислении определенного интеграла используются те же методы, что и для вычисления неопределенного.
2.2. Практическая работа № 9 «Вычисление определенного интеграла»
Непосредственное интегрирование
Рекомендуется, не дочитывать числа в каждой скобке, а сначала скобки раскрыть. Часто при этом дроби исчезают.
Метод подстановки
α и β – новые пределы интегрирования. После замены переменной и нахождения интеграла не нужно возвращаться к исходной переменной (в отличие от неопределенного интеграла).
1)
;
Интегрирование по частям (необязательно) Формула:
Домашнее задание № 12 «Вычисление определенного интеграла»
Вычислить интегралы:
1. Непосредственное интегрирование
Ответы:
2. Метод подстановки
Ответы:
Лекция 3. Геометрическое приложение определенного интеграла. Вычисление площадей
3.1. Вычисление площадей
1) Если фигура ограничена линиями: y = f(x), OX, x = a, x = b (т.е. площадь криволинейной трапеции)
2) Если фигура
ограничена графиками двух функций:
3
)
Если фигура ограничена графиками
нескольких непрерывных функций – свести
задачу к задаче 2).
Например: на рисунке
фигура ограничена графиками функций
Точкой С разбиваем отрезок [a, b] на два. Тогда:
или
