4.1. Вывод формулы
Пусть функции
имеют непрерывные производные на
промежутке
X.
Найдем:
а) дифференциал от произведения u∙v:
(1)
б) интеграл от обеих частей равенства (1):
Здесь:
по свойству неопределенного интеграла
№ 3 (см. Лекцию 1)
(2)
Тогда:
формула интегрирования по частям
Таким образом,
подынтегральное выражение f(x)dx
представляется в виде произведения
множителей u
и dv,
т.е. исходно
(В правой части постоянную C не пишут, т.к. при интегрировании она появится в du).
Алгоритм нахождения интеграла:
1) разбить исходный интеграл на u и dv;
2) найти du и v;
3) вычислить заданный интеграл по формуле.
4.2. Типовые задачи
Здесь главное увидеть, что принять за u и что за dv. При этом существуют типовые разбиения в различных видах интегралов.
А)
В интегралах вида:
(P(x) – многочлен относительно x, a – некоторое число)
Полагают: u = P(x), все остальное – dv
Пример:
Б) В
интегралах вида:
Полагают: P(x) dx = dv, все остальное – u
Пример:
Решение:
В)
В интегралах вида:
,
где a
и b
некоторые числа, за u
можно принять любую функцию:
Пример:
Здесь пришлось применить интегрирование по частям дважды.
Так приходится делать и в случае понижения степени (как правило, тригонометрических функций и многочленов).
Интегралы вида:
существуют, но не выражаются через элементарные функции.
4.3. Решение примеров
Домашнее задание № 11 «Интегрирование по частям»
Вычислить интегралы (в скобках приведены ответы):
Тема 4.4. Определенный интеграл
Лекция 1. Определение, геометрический смысл и свойства определенного интеграла
1.1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
Пусть дана функция
y
= f(x)
на отрезке [a,
b],
причем f
/(x)
≥ 0 для любого
.
Задача. Найти площадь фигуры ABCD (криволинейная трапеция)
Фигура
разбивается на n
прямоугольников, ширина которых
,
высота –
.
Тогда приближенно
площадь каждого прямоугольника:
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади искомой фигуры:
(1) (интегральная
сумма)
Величина Δ x – шаг разбиения. При уменьшении шага разбиения Δ x → 0, т.е. количество разбиений n → ∞. При этом формула (1) станет более точной. Тогда точное значение площади – предел (если он существует).
Определение. Если последовательность интегральных сумм S n при n → ∞ имеет конечный предел, не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] и от выбора точки ξ I , то этот предел называют определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b.
(2)
т.е. интеграл – это сумма
Значения a и b – соответственно нижний и верхний пределы интегрирования. Таким образом, определенный интеграл представляет собой число, а не формулу в отличие от неопределенного интеграла.
В виде формулы (2) определение впервые сформулировано немецким математиком Бернардом Риманом. Поэтому интегральную сумму часто называют римановской суммой, а интеграл – интегралом Римана. Знак ∫ введен Лейбницем, это удлиненная первая буква от латинского слова « summa».