Раздел 1. Комплексные числа

Лекция 1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма

1.1. Понятие комплексного числа

В курсе высшей математики доказывается теорема о том, что любое уравнение имеет количество корней, равное степени уравнения. При этом квадратное уравнение не имеет решения из множества действительных чисел. Следовательно, возникает необходимость расширить понятие числа и ввести новое множество, которое позволит извлекать корни четной степени из отрицательных чисел.

Новое множество – это множество комплексных чисел. Обозначается: «С»

Определение: комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных (действительных) чисел (a; b), где а – вещественная часть комплексного числа.

Любое вещественное число может быть представлено в виде: а = (а; 0) (но не (0; а)!!)

Два комплексных числа Z₁ = (a; b) и Z₂ = (c; d) считаются равными (Z₁ = Z₂), если a = c и b = d

1.2. Операции над комплексными числами

1) Сложение:

1.1) Противоположное комплексное число: Z и –Z:

2) Умножение:

При умножении комплексного числа на действительное число: ; для любого к.ч.

3) Операция деления на комплексное число, отличное от нуля, возможна. В действительности, операция деления заменяется операцией умножения на обратное число.

Т.е., если , то обратное комплексное число

Как всегда произведение взаимно обратных чисел равно единице:

Все перечисленные операции удобнее выполнять над комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Эту форму комплексного числа введем после знакомства с числом « i » - мнимой единицей.

1.3. Число « I » - мнимая единица

Рассмотрим комплексное число и возведем его в квадрат:

, т.е.

Это свойство числа i часто используется в дальнейшем. Например, уравнение , будет иметь корни: . Это два комплексных числа i и –i.

Можем решить и другое уравнение: .

Таким образом, получена возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел!

При помощи числа любое комплексное число можно записать:

1.4. Алгебраическая форма комплексного числа

Это запись комплексного числа в виде:

Где a - вещественная часть, bi - мнимая часть комплексного числа.

Любое действительное число может быть представлено в таком виде:

и т.д.

Нулевое комплексное число (нуль): Для любых чисел:

Лекция 2. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

2.1. Действия

Рассматриваем числа:

1. Сложение: формула (1) Свойства сложения: а) коммутативность б) ассоциативность:

2. Вычитание: формула (2)

3. Умножение: формула (3) Свойства умножения: а) коммутативность; б) ассоциативность;

в) дистрибутивность:

На самом деле, можно умножать каждое слагаемое одной скобки на каждое слагаемое другой. Так бывает проще.

Выполним рассмотренные действия для двух заданных комплексных чисел:

Пусть:

1) ;

2) ;

3) или

Теперь, самостоятельно для чисел: выполните те же действия.

4. Деление: частным комплексных чисел является комплексное число , удовлетворяющее условию: или .

Т огда, чтобы найти число z, необходимо решить систему уравнений:

Пример:

Операция долгая, неудобная, поэтому: введем число комплексно сопряженное числу

При этом:

1)

2)

3) для любых комплексных чисел, отличных от нуля.

Тогда, удобно при делении избавляться от мнимости в знаменателе путем домножения числителя и знаменателя на число сопряженное знаменателю.

Пример: (тот же пример)

Фактически операция деления комплексных чисел заменяется операцией умножения на обратное число:

Для любого комплексного числа - обратное число. При этом

Пример: . Найти обратное число:

Введение обратного числа необходимо и для операции 5.