Домашнее задание № 8 «Применение дифференциала к приближенным вычислениям»

1. Найти приближенное значение приращения функции при заданном приращении аргумента:

Ответы: 1.1) 0,018; 1.2) -0,08; 1.3) 1,34

2. Вычислить приближенно:

Ответы: 2.1) 1,007; 2.2) 0,4849; 2.3) 1,043; 2.4) 1,01; 2.5) 0,5078.

Тема 4.3. Неопределенный интеграл

Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

1.1. Первообразная

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если они обе существуют на одном и том же множестве, и производная функции F(x) равна функции f(x).

F ^/ (x) = f (x)

Например, функция:

• y = sin x - первообразная для y = cos x

• y = - cos x - первообразная для y = sin x

• y = 2x + 1 - первообразная для y = 2

• y = ln x - первообразная для y = 1/x (на множестве x > 0) и т.д.

Операция нахождения первообразной называется интегрирование. Это операция, обратная дифференцированию.

Вспоминаем таблицу первообразных элементарных функций

Функция f(x)	Первообразная F(x)
1) Постоянная: C
2) Степенная:
Частные случаи:
Для степенной
3) Показательная:
Частный случай:
4) Тригонометрические:
5) Правила интегрирования:
5.1)
5.2)
5.3) Для сложной функции

1.2. Неопределенный интеграл

Для любой функции существует бесконечно много первообразных, которые имеют общую часть, а различаются лишь постоянными (числами).

Например, для функции

являются первообразными, т.к. . И подобных первообразных можно составить сколько угодно.

Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Здесь:

f(x) -- подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента.

Тогда, общая формула: , где C – произвольная постоянная.

Таким образом, для вычисления неопределенного интеграла, нужно найти все первообразные

заданной функции.

Например: и т.д.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных интегральных кривых F(x), F(x)+C₁, F(x)+C₂ и т.д.

Отмечаем: если функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует первообразная функции F(x), а, следовательно, и неопределенный интеграл ∫f(x)dx.

Примеры. Найти: