Домашнее задание № 7 «Исследование функций при помощи производной»

Исследуйте функции и постройте их графики:

1) ; 2) ; 3) 4) 5)

Тема 4.2. Дифференциал

Лекция 1. Дифференциал. Определение и геометрический смысл

1.1. Дифференциал

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀ (a, b), т.е. существует .

Тогда по теореме о представлении функции в виде суммы ее предела и б.м.ф. (см. раздел 3, тема 3.2.) «Предел функции в точке»: если , то f(x) = A + α(x)) имеем:

Здесь слагаемые α(x) и Δx есть бесконечно малые более высокого порядка, чем величина . Тогда величина составляет главную часть приращения функции в точке x₀. Это и есть дифференциал.

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ называется линейная относительно Δx величина , составляющая главную часть приращения функции в точке x₀.

Обозначение:

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то или

Для функции .

Тогда запись: d f(x) = f ^/ (x) dx или d y = y ^/ dx

Т.е. дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.

При этом, если f ^/ (x₀) = 0, то d f(x₀) = 0. Здесь f ^/ (x₀) Δx не главная часть приращения функции, т.к. .

Примеры. Найти дифференциалы следующих функций:

1)

2)

1.2. Дифференциал сложной функции

Если y = f(u), u = g(x):

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство называется инвариантность дифференциала.

Пример:

1.3. Основные свойства дифференциала: u и v -дифференцируемые функции

Задание для самостоятельной работы

Найти дифференциалы функций для допустимых значений аргумента:

1.4. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y=f(x), дифференцируемую в точке x₀.

Точка x₀ → x₀+Δx, M₀ → M

M₀T – касательная. Т – точка касательной, соответствующая приращенному аргументу.

Δx – приращение аргумента, Δy – приращение функции.

Тогда из ΔM₀NT, <M₀= α:

Д ифференциал функции в точке x₀ равен приращению ординаты касательной, которое соответствует приращению аргумента на Δx.

Дифференциал может быть меньше (рис.1) и больше приращения функции (рис.2)

При достаточно малых приращениях аргумента (Δx) можно допустить, что dy ≈ Δy (d f(x₀) ≈ Δf(x₀)).

Приняв подобное допущение, рассматриваем практическое приложение дифференциала.

Лекция 2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

На практике вычислить дифференциал проще, чем приращение функции. Поэтому, если нужно найти приращение функции в точке вместо величины применяют приближенное значение

Практическая работа № 7 «Приближенные вычисления»

Задание 1. Найти приближенное значение приращения функции в точке x₀ при заданном приращении аргумента:

1.1)

Решение: =

1.2)

=

Задание 2. Найти приближенное значение функции в точке. Здесь заданное значение аргумента разбиваем на две части: x₀ и Δx. Тогда: , где величину ищем как в задании 1.

Дано: ?

Решение. 1. ;

2. Считаем нужные величины: ;

= ;

Тогда:

Задание 3. Вычислить приближенно

Решение: пусть ║

=

Тогда: