4.2. Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Следствия:

Второй замечательный предел:

Примеры: 1) , т.к. при x→0 10x ~ 5x – эквивалентные б.м.ф.

Тогда: e ^10x−1 ~ 10x, tg5x ~ 5x;

2) ; (tg5x ~ 5x);

3) ;

sin(x/2) ~ x/2, ;

4)

Задание для самостоятельной работы

Вычислить пределы:

Ответы: 1) 1/3; 2) cos a; 3) 1/2; 4) 1; 5) 1/4

Рекомендации: в примере 5 использовать домножение на сопряженное и эквивалентные б.м.ф.

1 – cosx ~ x²/2 , что доказано в разобранном примере № 3.

4.3. Замечательные пределы в экономике

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел: . В сберегательных банках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение происходит чаще, то капитал растет быстрее, т.к. в образовании процентов участвует большая сумма денег.

Рассмотрим упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 денежных единиц из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Если же проценты будут начисляться каждые 6 месяцев:

• По истечении полугодия 100 ден.ед. вырастут в ;

• Еще через полгода (т.е. через год) – в (ден.ед.)

Если присоединение производить каждые 4 месяца (1/3 года), то по истечении года 100 ден.ед. превратятся в (ден.ед.)

Участив срок до 0,01 года, до 0,001 года и т.д., получим:

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Раздел 4. Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 4.1. Производная и ее приложения

Лекция 1. Дифференцирование функций

1.1. Таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования

Функция	Производная
1) Постоянная: C
2) Степенная: xn
Частные случаи:
3) Показательная:
4) Логарифмическая: (x > 0)
Натуральный логарифм: (x > 0)
5) Тригонометрические:
Обратные тригонометрические:
Правила дифференцирования
1) Постоянный множитель выносится за знак производной:
2) Производная суммы функций:
3) Производная произведения:
4) Производная частного:
5) Производная сложной функции: