2.6. Асимптоты графика функции
1. Вертикальные. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если
т.е. не существует.
Пример:
1)
здесь x
= -2 вертикальная асимптота,
2)
x
= ±1 – вертикальные асимптоты,
3)
x
= -1 - вертикальная асимптота,
4)
- множество вертикальных асимптот
графика;
5)
- вертикальная асимптота,
2. Горизонтальные и наклонные
Если график функции имеет наклонную асимптоту, то она задается уравнением прямой , где:
.
k
– угловой коэффициент.
При k = 0, получаем горизонтальную асимптоту.
Например, для
функции
-
горизонтальная асимптота:
при
,
при
Лекция 3. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов
3.1. Основные теоремы о пределах
1. Предел
постоянной равен самой постоянной, т.е.
если f(x)
= C,
то
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
2. Теорема. Предел суммы равен сумме пределов: т.е. если
3. Теорема. Предел произведения равен произведению пределов, т.е. если
4. Теорема. Предел частного равен частному пределов, т.е. если
5. Теорема
(о позитивности
предела).
Если при
;
6. Теорема (о пределе промежуточной функции)
Если
,
и для любого х из окрестности точки a
выполняется неравенство
для некоторой
функции γ(x),
то
.
При вычислении
пределов часто появляются неопределенности.
Неопределенности могут иметь вид:
и
другие. Для
избавления от неопределенности
используем:
Формулы сокращенного умножения;
Разложение квадратного трехчлена на множители;
Операцию «домножения на сопряженное»;
Деление на старшую степень переменной и т.п.
3.2. Практическая работа № 5 «Вычисление пределов»
Примеры.
1)
;
2)
;
3)
4)
;
Применив формулу разности квадратов, избавились от «плохого» сомножителя;
5)
;
Здесь помогло разложение на множители числителя и знаменателя;
6) В этом примере используем операцию «домножения на сопряженное»:
7)
Здесь нужно каждое слагаемое числителя
и знаменателя разделить на старшую
степень:
- Кроме чисел 1 и
2 все остальные слагаемые числителя и
знаменателя являются б.м.ф. при x→∞,
т.е.
,
аналогично и другие.
Вообще, если ищем предел отношения многочленов, то он равен отношению старших коэффициентов, если равны степени. В противном случае, надо раскрывать неопределенность.
Домашнее задание № 5 «Вычисление пределов»
Часть 1.
1) -42; 2) -3; 3) 5; 4) -7;
5) 49; 6) 0; 7)
;
8)
;
9) 2; 10) 1; 11)
;
12)
;
13) 0; 14) ∞; 15)
.
Часть 2.
Лекция 4. Замечательные пределы
4.1. Эквивалентные б.М.Ф. И б.Б.Ф.
Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции – это функции одного порядка, т.е.
, где α(x),
β(x)
– б.м.ф. и Φ(x),
G(x)
– б.б.ф.
Цепочка эквивалентных бесконечно малых функций (α(x)→0):
α(x) ~ sinα(x) ~ tgα(x) ~ arcsin α(x) ~ arctg α(x) ~ ln(1+α(x)) ~ e α(x) – 1
Теорема. Предел отношения б.м.ф. (или б.б.ф.) равен пределу отношения их эквивалентных.