1.5. Практическая работа № 4 «Числовые последовательности»
1.5.1. Найдите 4-й член последовательности, если последовательность задана формулой:
1.5.2. Найдите предел последовательности, заданной формулой общего члена:
;
1.5.3. . Найдите сумму
членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
Лекция 2. Предел функции в точке и на бесконечности. Непрерывность функции
2.1 Предел функции в точке
Определение 1. (на языке бесконечно малых и бесконечно больших функций)
Число A называется пределом функции f(x) при x→a, если функция f(x) в точке a представима в виде
,
где α(х) – бесконечно малая функция
при x→a.
Запись:
Определение 2. (на языке ε, δ)
Число A
называется пределом функции f(x)
в точке а, если для любого положительного
числа ε существует такое положительное
число δ, что для всех
выполняется неравенство
.
П
ояснение
(см. рис.): смысл определения в том, что
для достаточно близких к а
значениях аргумента x
соответствующие значения функции
отличаются от значения A
сколь угодно мало.
Примеры:
1)
2)
,
но при x=a
3)
,
но f(a)
= 2
функция не определена
2.2. Односторонние пределы
Рассмотрим график некоторой функции y=f(x):
При x→a
– (слева)
левосторонний предел
При x→a
+ (справа)
правосторонний предел
Но при этом
не существует!
Таким образом, предел функции в точке существует, если существуют и равны оба односторонних предела.
2.3. Непрерывность функции в точке
Определение.
Функция
f(x)
называется непрерывной в точке а,
если предел функции при x→a
равен значению функции в точке а.
Этому определению можно дать несколько трактовок, одна из которых:
Функция непрерывна
в точке а – значит
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна на всем промежутке; если функция непрерывна в каждой точке области определения, то она непрерывна на всей области определения функции. Непрерывность функции – очень важное свойство. При изучении программы средней школы мы работаем только с непрерывными на своей области определения функциями.
2.4. Виды разрывов
У
странимый
разрыв, разрыв нулевого рода
– существуют и равны односторонние
пределы, и функция определена в точке.
Пример:
Здесь:
Разрыв первого рода – «скачок» - существуют оба односторонних предела, нет общего.
Пример:
Здесь:
не
существует.
Р
азрыв
второго рода
- не существует односторонних пределов
или хотя бы одного из них (гипербола)
Пример:
.
Здесь: в точке 0 предел слева равен −∞,
предел справа +∞.
не существует.
2.5. Свойства непрерывных функций
Теорема 1. (первая теорема Больцано-Коши)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем значения функции в точках a и b разных знаков (f(a)∙f(b)<0), то существует такая точка c[a, b], что f(c) = 0.
Графически: на отрезке [a, b] есть точка, в которой график функции пересекает ось Х.
Теорема 2. (вторая теорема Больцано-Коши)
Непрерывная на отрезке функция вместе с любыми двумя значениями принимает и все промежуточные значения.
Т.е. для любого С [f(a), f(b)] существует точка c такая, что f(c) = C
Теорема 3. (вторая теорема Вейерштрассе)
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем наименьшего и наибольшего значений.
Н
апример,
функция f(x)
= {x}
– мантисса числа (дробная часть)
На отрезке [0, 2] функция не имеет наибольшего значения, значит, функция разрывная (разрыв 1 рода).