1.2. Свойства последовательностей.

• Над последовательностями можно производить арифметические операции: сложение (вычитание) и умножение (деление);

• Возрастающая последовательность – последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего, т.е. для любого .

Убывающая последовательность – соответственно для любого .

Монотонная последовательность – это последовательность, которая является либо возрастающей, либо убывающей.

• Ограниченные последовательности. Последовательность называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. такое число С, что для всех номеров n выполняется неравенство: .

Возрастающая последовательность ограничена сверху, если для всех n ;

Убывающая последовательность ограничена снизу, если для всех n ;

Чтобы последовательность была ограниченной, необходимо, чтобы она была ограничена и сверху и снизу.

1.3. Предел последовательности

Число A называют пределом последовательности a₁ ,a₂ ,…, если начиная с некоторого момента все члены этой последовательности, будут сколь угодно мало отличаться от A.

Произношение: предел последовательности a_n при n стремящемся к бесконечности; lim - от латинского «лимит».

Последовательности, которые имеют пределы, называются сходящимися, а которые не имеют – расходящимися.

Правила вычисления пределов:

Примеры вычисления пределов последовательностей

В приведенных примерах: первые четыре – сходящиеся последовательности, т.к. имеют конечный предел, а пятая – расходящаяся последовательность.

Признак сходимости последовательности. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

К явно сходящимся последовательностям относится и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.4.1. Окрестность точки

О пределение. Дельта (δ) - окрестностью точки a называется множество точек пространства, удаленных от точки a на расстояние меньшее, чем δ, т.е.

1.4.2. Бесконечно Малые Функции (Б.М.Ф.)

Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой в точке а (или при x→a), если для всякого сколь угодно малого числа ε >0 можно указать такую δ - окрестность точки а, что для всех x, попадающих в эту окрестность, выполняется неравенство .

Т .е. если:

то:

Примеры Б.М.Ф.

1) y = x – 2 Б.М.Ф. в точке x = 2 (можно записать: при x→2 y→0)

2) y = sin x Б.М.Ф. в точке x = 0, π, 2π…

3) Б.М.Ф. в точке x = 2

1.4.3. Бесконечно Большие Функции (Б.Б.Ф.)

Определение. Функция Φ(x) называется бесконечно большой при x→a, если Φ(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки а и 1/ Φ(x) является б.м.ф. (x→a).

Запись: при Φ(x) > 0 ; при Φ(x) < 0

Например, функция (см. рис.)

(x≠1) является б.б.ф. при x→1, т.е.

Это очевидно, т.к. 1/Φ(x) = (x – 1)² – б.м.ф. при x→1

Если f(x) – бесконечно большая функция в окрестности точки a, тогда график функции в этой точке «взвивается» вверх (на +∞) или резко уходит вниз (на −∞). Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика.