2.3. Показательная и логарифмическая функции

Функции являются взаимно обратными функциями; их графики симметричны относительно прямой y = x.

Для функции ; для функции .

Обе функции существуют для основания .

Если основание:

• , то показательная и логарифмическая функции монотонно возрастают;

• , то показательная и логарифмическая функции монотонно убывают.

Вид графика экспонента

Для показательной функции характерная точка (0, 1), для логарифмической (1,0);

Для показательной функции ось абсцисс – горизонтальная асимптота, для логарифмической функции ось ординат – вертикальная асимптота.

.

2.4. Тригонометрические функции

• Функция : , четная, период , ограниченная, имеет экстремумы (максимумы и минимумы), асимптот нет, график – косинусоида.

• Функция : , нечетная, период , ограниченная, имеет экстремумы (максимумы и минимумы), асимптот нет, график – синусоида.

• Функция : , нечетная, период , возрастает на каждом периоде, экстремумов не имеет, прямые - вертикальные асимптоты, график – тангенсоида

• Ф ункция : , нечетная, период , убывает на каждом периоде, экстремумов не имеет, прямые - вертикальные асимптоты, график –котангенсоида.

• Обратные тригонометрические функции

Обратна y=sinx Обратна y=cosx Обратна y=tgx Обратна y=ctgx

на: [−π/2, π/2] на [0, π] на (−π/2, π/2) на (0, π)

Для функции - горизонтальные асимптоты; для функции -

Домашнее задание № 4 «Функции и их свойства»

1. Найти область определения и множество значений функций:

2. Исследовать на четность функции:

3. Найти область определения и множество значений функции, обратной данной:

Тема 3.2. Пределы и непрерывность

Лекция 1. Числовая последовательность и ее предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.1. Числовая последовательность

Последовательность можно понимать как частный вид функций, а именно как функцию номера места члена последовательности . Обозначение числовой последовательности - или , где n – номер члена последовательности, a_n – общий член последовательности.

S_n – последовательность сумм. .

Примеры числовых последовательностей:

• ;

• ;

• и т.д.

Способ задания последовательности, при котором для вычисления n-го члена надо знать предыдущие, называется рекуррентным.

К известным рекуррентным соотношениям относят:

• Арифметическую прогрессию (a_n) – , d – разность прогрессии.

Например, сумма n первых натуральных чисел: ;

• Геометрическую прогрессию (b_n) – , q – знаменатель прогрессии. При | q | < 1 получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию;

 

• Последовательность Фибоначчи. Если взять a₁=1, a₂=2, то получится стандартная последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 11, 21, … Здесь , т.е. задается с a₃. Формула общего члена:

• Последовательность факториалов. Приняв a₁=1, a_n является произведением натуральных чисел от 1 до n: . Восклицательный знак – это обозначение факториала. Например: . Формула общего члена: .

Конечно, существует бесконечно много различных числовых последовательностей.